Çikmiş Soru
(2023 / MSU)
ÖSYN
A, B ve C birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, AB iki
basamaklı sayısı 3 ile tam bölünebilmektedir ancak 2 ile
tam bölünememektedir. BC/iki basamaklı sayisı ise 9 ile
tam bölünebilmektedir.
Buna göre,A < C koşulunu sağlayan kaç tane ABC üç
basamaklı doğal sayısi yazılabilir?
(A)1
B) 3
C)5
D) 7
E) 9
A, B ve C Birbirinden Farklı Rakamlar Olmak Üzere A < C Koşulunu Sağlayan ABC Sayılarının Sayısı
KULLANILAN KURALLAR VE FORMÜLLER:
- 2 ile Bölünebilme: Bir sayının birler basamağı çift olmalıdır. 2 ile tam bölünemiyorsa son basamağı tek sayıdır.
- 3 ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 3’ün katı olmalıdır (A + B = 3k).
- 9 ile Bölünebilme: İki basamaklı BC sayısının rakamları toplamı 9 veya 18 olmalıdır (B + C = 9 veya B + C = 18).
- Koşullar: A, B, C birbirinden farklı rakamlardır, A \neq 0 ve A < C’dir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — B ve C Rakamlarının Belirlenmesi
AB iki basamaklı sayısı 2 ile tam bölünemediği için birler basamağı olan B rakamı tek sayı olmalıdır:
B \in \{1, 3, 5, 7, 9\}
BC iki basamaklı sayısı 9 ile tam bölünebildiğinden B + C toplamı 9 veya 18 olmalıdır. Rakamlar birbirinden farklı (B \neq C) olduğu için B + C = 18 olamaz (9 + 9 = 18 durumu elenir). Dolayısıyla B + C = 9 olmalıdır:
- B = 1 \implies C = 8
- B = 3 \implies C = 6
- B = 5 \implies C = 4
- B = 7 \implies C = 2
- B = 9 \implies C = 0
Adım 2 — Her (B, C) Çifti İçin A Rakamının ve A < C Şartının İncelenmesi
-
Durum 1: B = 1 ve C = 8
- AB sayısı 3 ile tam bölündüğünden A + 1 = 3k olmalıdır \implies A \in \{2, 5, 8\}.
- A < C (A < 8) şartından dolayı A = 2 veya A = 5 olabilir.
- Rakamları farklılık kontrolü: (2, 1, 8) ve (5, 1, 8) sayıları koşulları sağlar.
- Oluşan sayılar: 218 ve 518 (2 adet).
-
Durum 2: B = 3 ve C = 6
- A + 3 = 3k \implies A \in \{3, 6, 9\}.
- A < C (A < 6) şartını sağlayan tek değer A = 3’tür.
- Ancak B = 3 olduğu için A \neq B kuralı bozulur.
- Bu durumdan sayı yazılamaz (0 adet).
-
Durum 3: B = 5 ve C = 4
- A + 5 = 3k \implies A \in \{1, 4, 7\}.
- A < C (A < 4) şartını sağlayan değer A = 1’dir.
- Rakamları farklılık kontrolü: (1, 5, 4) sayıları tüm koşulları sağlar.
- Oluşan sayı: 154 (1 adet).
-
Durum 4: B = 7 ve C = 2
- A < C (A < 2) şartından dolayı A yalnızca 1 olabilir (A \neq 0).
- A = 1 için A + B = 1 + 7 = 8 olur ve 3’ün katı değildir.
- Bu durumdan sayı yazılamaz (0 adet).
-
Durum 5: B = 9 ve C = 0
- A < C (A < 0) şartını sağlayan pozitif bir A rakamı yoktur (A yüzler basamağı olduğu için A \ge 1 olmalıdır).
- Bu durumdan sayı yazılamaz (0 adet).
Adım 3 — Toplam Sayı Adedinin Hesaplanması
Koşulları sağlayan ABC doğal sayıları:
\text{Yazılabilecek Sayılar} = \{218, 518, 154\}
\text{Toplam Adet} = 2 + 0 + 1 + 0 + 0 = 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (3)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bölünebilme Kuralları
- Tanım: Bir tamsayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünemediğini basamaklarındaki rakamlar üzerinden inceleyen kurallar bütünüdür.
- Bu problemde: AB sayısının 2 ve 3 ile, BC sayısının ise 9 ile bölünebilme kuralları basamak ilişkilerini kurmak için kullanılmıştır.
2. Rakamların Farklı Olma Koşulu
- Tanım: Bir sayıda kullanılan hiçbir rakamın birbiriyle aynı olmaması durumudur.
- Bu problemde: B=3, C=6 iken A=3 bulunmuş ancak A \neq B koşulu nedeniyle bu durum elenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
A=0 Değerini Kabul Etmek
- Yanlış: B = 9, C = 0 iken A < 0 durumunu aramak veya A’yı 0 alarak iki basamaklı sayı oluşturmak.
- Doğru: ABC sayısı üç basamaklı olduğundan yüzler basamağındaki A rakamı sıfır olamaz (A \ge 1).
- Neden Yanlış: Bir doğal sayının en solundaki basamağa sıfır yazılamaz.
Rakamları Farklı Şartını Unutmak
- Yanlış: B = 3, C = 6 iken A = 3 değerini de çözüme dahil etmek.
- Doğru: Soruda A, B ve C’nin birbirinden farklı olduğu belirtildiğinden A = B = 3 elenmelidir.
- Neden Yanlış: Soru kökündeki kısıtlamalar göz ardı edildiğinde fazladan sonuç bulunur.
Benzer bir MSÜ/TYT bölünebilme sorusu oluşturup pratik yapmamızı ister misin?