CIKMIS SDR
MSÜ 2019 — Turnike ve Tek-Çift Sayılar Sorusu Çözümü
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Toplam Giriş Sayısı: T = a + b \cdot c
- Tek / Çift Sayı Kuralları:
- \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek}
- \text{Tek} \times \text{Tek} = \text{Tek}
- \text{Çift} \times \text{Tek} = \text{Çift}
- \text{Çift} \times \text{Çift} = \text{Çift}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Toplam Kişi Sayısının Modellenmesi
Müzeye önce a kişi girmiştir. Ardından her birinde b kişi bulunan c tane grup girdiğinde toplam giriş yapan kişi sayısı:
T = a + (b \cdot c)
olur.
Adım 2 — Turnikenin Dönüş Sayısı ve Teklik-Çiftlik Analizi
Turnike her kişi girişinde çeyrek tur (90^\circ) dönmektedir.
- Turnike 4 çeyrek tur döndüğünde (360^\circ) tam bir tur atarak başlangıçtaki konumu olan Şekil 1 durumuna geri döner.
- Turnikenin Şekil 1 konumundan Şekil 2 konumuna geçebilmesi için çeyrek dönüş sayısının tek sayı olması gerekir (1, 3, 5, \dots çeyrek tur).
- Dolayısıyla müzeye giren toplam kişi sayısı tek sayıdır:
a + b \cdot c = \text{Tek}
Adım 3 — Olası Durumların İncelenmesi
a + b \cdot c = \text{Tek} eşitliğini sağlayan iki farklı durum vardır:
- 1. Durum: a Tek, b \cdot c Çift olsun.
- b \cdot c çarpımı çift ise b veya c sayılarından en az biri çifttir.
- 2. Durum: a Çift, b \cdot c Tek olsun.
- b \cdot c çarpımının tek olması için hem b hem de c kesinlikle tek olmalıdır (b = \text{Tek}, c = \text{Tek}).
Adım 4 — Öncüllerin Değerlendirilmesi
-
I. a + b \cdot c tek sayıdır:
- Adım 2’de tespit ettiğimiz üzere turnikenin Şekil 2’ye gelebilmesi için toplam kişi sayısı tek olmalıdır. (KESİNLİKLE DOĞRU)
-
II. a + b + c tek sayıdır:
- 1. Durumda: a = 1 (Tek), b = 2 (Çift), c = 2 (Çift) seçilirse \rightarrow 1 + 2 + 2 = 5 (Tek).
- Fakat a = 1 (Tek), b = 1 (Tek), c = 2 (Çift) seçilirse \rightarrow 1 + 1 + 2 = 4 (Çift) olur.
- Her zaman tek olmak zorunda değildir. (KESİN DEĞİL)
-
III. a \cdot b \cdot c çift sayıdır:
- 1. Durumda: b \cdot c çift olduğu için çarpımın sonucu çifttir.
- 2. Durumda: a çift olduğu için çarpımın sonucu çifttir.
- Her iki durumda da çarpanlardan en az biri çift olduğundan çarpım kesinlikle çifttir. (KESİNLİKLE DOĞRU)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (I ve III)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpımın Tekliği ve Çiftliği
- Tanım: Çarpımın tek olması için tüm çarpanların tek olması şarttır; en az bir çift çarpan sonucu çift yapar.
- Bu problemde: a tek olduğunda b \cdot c çift, a çift olduğunda ise kendisi çift olduğu için a \cdot b \cdot c her zaman çift kalmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
a+b+c toplamını kesin doğru kabul etmek
- Yanlış: b \cdot c çift ise b ve c’nin her ikisini de çift varsayarak toplamın daima tek çıkacağını düşünmek.
- Doğru: Çarpımın çift olması için çarpanlardan yalnızca birinin çift olması yeterlidir (örneğin biri tek, biri çift).
- Neden yanlış: Bu ihtimal gözden kaçırıldığında toplam çift de çıkabilir.
Sayfadaki diğer soruların (5, 6 veya 7. soru) çözümlerini de adım adım yapmamı ister misin?
@Egitim_Danismani evet
Sayfadaki 5, 6 ve 7. soruların ayrıntılı ve adım adım çözümleri aşağıdadır:
5. Soru: Eşit Kollu Terazi ve Ardışık Sayılar
KULLANILAN KURAL VE BİLGİLER:
- S, K, M ardışık sayma sayıları ve S < K < M olduğundan:S = n, \quad K = n + 1, \quad M = n + 2
- İbreler arasındaki mesafe kefelerdeki toplam kütle farkına eşittir:\text{Mesafe} = |\text{Sol Kefe} - \text{Sağ Kefe}|
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Başlangıçtaki Kefe Kütlelerinin Hesaplanması
- Sol Kefe: 1 adet mavi (M) ve 2 adet sarı (S) cisim bulunmaktadır.\text{Sol} = M + 2S = (n + 2) + 2n = 3n + 2
- Sağ Kefe: 2 adet kırmızı (K) cisim bulunmaktadır.\text{Sağ} = 2K = 2(n + 1) = 2n + 2
Adım 2 — n Değerinin Belirlenmesi
Şekildeki kütle farkı göstergesinde ibreler arasındaki uzaklık 4 birimdir:
\text{Sol} - \text{Sağ} = (3n + 2) - (2n + 2) = n
Buradan n = 4 bulunur.
Buna göre cisimlerin kütleleri:
S = 4\text{ kg}, \quad K = 5\text{ kg}, \quad M = 6\text{ kg}
Adım 3 — Sol Kefeye 1 Kırmızı Cisim Eklenmesi
- Sol kefenin yeni kütlesi:\text{Sol}_{\text{yeni}} = \text{Sol} + K = (3 \cdot 4 + 2) + 5 = 14 + 5 = 19\text{ kg}
- Sağ kefenin kütlesi:\text{Sağ} = 2 \cdot 5 = 10\text{ kg}
Adım 4 — Yeni Mesafenin Hesaplanması
\text{Yeni Mesafe} = 19 - 10 = 9\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (9)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
6. Soru: Eşitsizlik ve Sıralama
KULLANILAN KURAL VE BİLGİLER:
- x \cdot y > 0 \implies x ve y aynı işaretlidir (ikisi de pozitif veya ikisi de negatif).
- y \cdot z < 0 \implies y ve z zıt işaretlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Olası Durumların İncelenmesi
-
1. Durum (y > 0 ise):
- x \cdot y > 0 \implies x > 0
- y \cdot z < 0 \implies z < 0
- Bu durumda x > 0, y > 0 ve z < 0 olur. z negatif olduğu için hem x’ten hem y’den küçüktür (x > z ve y > z).
-
2. Durum (y < 0 ise):
- x \cdot y > 0 \implies x < 0
- y \cdot z < 0 \implies z > 0
- Bu durumda z > 0, x < 0 ve y < 0 olur. z pozitif olduğu için hem x’ten hem y’den büyüktür (z > x ve z > y).
Adım 2 — Öncüllerin Değerlendirilmesi
- I. x = y > z durumu:
-
- durumda x = 2, y = 2, z = -1 seçilirse x = y > z şartı sağlanır. (Doğru olabilir)
-
- II. x > y > z durumu:
-
- durumda x = 3, y = 2, z = -1 seçilirse x > y > z şartı sağlanır. (Doğru olabilir)
-
- III. x > z > y durumu:
-
- durumda z < 0 < y olduğundan daima y > z’dir (z > y olamaz).
-
- durumda x < 0 < z olduğundan daima z > x’tir (x > z olamaz).
- Dolayısıyla bu sıralama hiçbir zaman gerçekleşemez. (Olamaz)
-
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (I ve II)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
7. Soru: İşaret İncelemesi
KULLANILAN KURAL VE BİLGİLER:
- Sıfırdan farklı her reel sayının karesi pozitiftir: b^2 > 0
- Çarpım pozitifse çarpanlar aynı işaretli, negatifse zıt işaretlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a’nın İşaretinin Bulunması
a \cdot b^2 < 0
b^2 > 0 olduğundan, çarpımın negatif olması için:
a < 0 \quad (\mathbf{-})
Adım 2 — b’nin İşaretinin Bulunması
0 < a - b \implies a > b
a negatif bir sayı olduğuna göre, a’dan daha küçük olan b sayısı da kesinlikle negatif olmak zorundadır:
b < 0 \quad (\mathbf{-})
Adım 3 — c’nin İşaretinin Bulunması
a \cdot c > 0
a < 0 (negatif) olduğuna göre, çarpımın pozitif (> 0) olması için c de negatif olmalıdır:
c < 0 \quad (\mathbf{-})
Adım 4 — Sıralı İşaret Dizilimi
- a \rightarrow -
- b \rightarrow -
- c \rightarrow -
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (-, -, -)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu sorularda aklına takılan veya farklı bir yöntemle incelememizi istediğin özel bir adım var mı?
@sorumatik_uzman_bot evet
Sayfadaki soruları sınavlarda çok daha hızlı çözmeni sağlayacak pratik soru çözüm taktikleri ve kısa yollar aşağıda özetlenmiştir:
TYT / MSÜ Soru Çözüm Taktikleri ve Kısa Yollar
1. Soru 7 için: Çift Kuvvet Eleme Taktiği
- Kural: İşaret incelemesi sorularında çift kuvvete sahip olan terimlerin (b^2, x^4 vb.) işareti daima pozitif olacağından, bu terimleri tabanın işaretini belirlemeden direkt olarak görmezden gelebilir (üstünü çizebilirsin).
- Pratik Uygulama:
- a \cdot \cancel{b^2} < 0 \implies a < 0 \quad (-)
- a \cdot c > 0 \implies (-) \cdot c > 0 \implies c < 0 \quad (-)
- 0 < a - b \implies b < a \implies b < (-) olduğundan b < 0 \quad (-)
- Sonuç: 3 saniyede (-, -, -) bulunur.
2. Soru 6 için: Zıt İşaretler Sıralama Taktiği
- Kural: İki sayının çarpımı negatifse (y \cdot z < 0), bu sayılardan biri kesinlikle pozitif, diğeri negatiftir. Dolayısıyla biri daima sıfırın sağında, diğeri solundadır.
- Pratik Uygulama:
- x ile y aynı taraftadır (çünkü x \cdot y > 0).
- z ise onların tam zıttı taraftadır.
- Bu nedenle z, hiçbir zaman x ile y’nin arasında (x > z > y) yer alamaz. Arada kalma ihtimali elendiğinde doğrudan I ve II kalır.
3. Soru 5 için: Doğrudan Değer Verme Yolu
- S, K, M ardışık olduğundan en küçük sayma sayıları seçilerek test edilebilir:
- S = 1, K = 2, M = 3 seçilirse:
- \text{Sol} = M + 2S = 3 + 2(1) = 5
- \text{Sağ} = 2K = 2(2) = 4
- Fark: 5 - 4 = 1 birim olur.
- Soruda fark 4 birim verildiği için her bir değerin temel farkı 4’tür (S=4, K=5, M=6).
- Sol kefeye 1 tane K (5\text{ kg}) eklenince aradaki fark 4 + 5 = 9 birim artar.
- S = 1, K = 2, M = 3 seçilirse:
Pekiştirme Sorusu (TYT Tipi)
x, y, z \text{ gerçel sayıları için}
x^3 \cdot y^5 > 0
y \cdot z^4 < 0
x + z = 0
olduğuna göre; x, y ve z’nin işaretleri sırasıyla nedir?
Bu pekiştirme sorusunun çözümünü adım adım yapmak ister misin?