(m−1)·x² + x − m = 0 Denkleminin Çift Katlı Kökü Olduğuna Göre, m Kaçtır?
Cevap:
Çift katlı kökü olan bir polinomun türevinde de o kök bir kök olacaktır. Eğer verilen denklemi bir polinom olarak düşünürsek, bu kökün x = a olduğunu düşünelim. Çift katlı kök olduğu için türevini de alacağız.
Adım 1: Denklemin Genel Yapısı ve Türev Alınması
Verilen denklem:
Bunun türevini alalım:
Adım 2: Çift Katlı Kök Eşitlikleri
Denklemin çift katlı kökü x = a ise, f(a) = 0 ve f'(a) = 0 eşitliklerini sağlamalıdır.
Eşitlik 1: f(x) = 0 için
Başta verilen polinomu çözmekte:
Eşitlik 2: f'(x) = 0 için
Daha önce aldığımız türevden:
Adım 3: Eşitlikleri Çözme ve m’nin Değerini Bulma
Türev Eşitliğinden a’yı Bulma:
Elde edilen a değerini polinom denklemde yerine koyarak m’yi bulmalıyız.
Polinom Eşitliğine Yerleştir:
Düzenleme ve sadeleştirme işlemleriyle:
Tüm terimleri ortak payda altında toplarsak:
Denklemdeki paydanın sıfır olması için:
Bu daha karmaşık bir çözüme dönüşebilir, fakat sayılarla m’yi denemek de bir alternatif çözüm olabilir.
Cevaplar arasından deneme:
Eğer m=0 denediğimizde:
$$a = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}$$
Bu makul bir çözüm veriyorsa, doğrudur. İkincil denklemi kontrol ederek doğrulama yapabiliriz. (farklı değerlerinin denenmesiyle karmaşık çözümler kaçınılabilir.)
Sonuç:
Bu işlemler ile cevap m = \frac{1}{2} olarak elde edilebilir. (Deneme yanılma ve işlem kontrolleri sonucu.)
Sonuç Cevap:
- D) \frac{1}{2}