Çiçek deseni bulunan birbirine özdeş karesel bölgelerden oluşmaktadir

ORTAOKUL
1

A
18. Aşağdaki masa örtüsünün tamamı içlerinde
çiçek deseni bulunan birbirine özdeş karesel
bölgelerden oluşmaktadir.
500 cm
120 cm
içerisinde çiçek deseni olan karelerin
santimetre cinsinden kenar uzunlukları
birer tam sayı olduğuna göre masa örtü-
sünde en az kaç tane çiçek deseni vardır?
A) 150 B) 160 C) 170 D) 180
8A Sinıfı
MATEMATIK
Sınıftaki öğrenci sayısının
5’ten büyük en küçūk pozitif
tam sayı çarpanı kadar öğ-
öğrenci proje hazırlamıştır.
A) 26
19
B) 27
1 ile 20 arasında sadece 1 tane asal çar-
panı olan A tane tam sayı vardır.
1 ile 25 arasında 2 tarklı asal carpanı olan
Yukarıda verilen bilgilere gõre A ve B tam
sayılarının toplamı kaçtır?
A) 25 B) 24
20. Bir okulda Tübitak Bilin Fuarn için 8A, 8B ve 8C sinıflanndan belirli sayıda öğrenci proje hazırlamış-
tir. Sınıflara göre proje hazılayan öğrenci sayıları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir.
8B Sınıf
10’dan küçük en büyük po-
C) 28
C) 22
D) 23
8C Sintfı
8A, 8B ve 8C sinıflarında bulunan öğrenci sayıları sirası ile 28, 30 ve 32 olduğuna göre bu
siniflardan proje hazırlayan toplam öğrenci sayısı kaçtır?
iki basamaklı en küçük po-
D) 29

Aşağdaki masa örtüsünün tamamı içlerinde çiçek deseni bulunan birbirine özdeş karesel...
Aşağdaki masa örtüsünün tamamı içlerinde çiçek deseni bulunan birbirine özdeş karesel...799×900 79.7 KB

2

Sayfadaki 18, 19 ve 20. soruların ayrıntılı ve adım adım çözümleri aşağıda verilmiştir:

18. Soru: Masa Örtüsündeki Çiçek Deseni Sayısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Dikdörtgensel bir alanı en az sayıda eş karesel bölgelere ayırmak için karenin kenar uzunluğu, dikdörtgenin kenar uzunluklarının En Büyük Ortak Böleni (\text{EBOB}) olmalıdır.
  • Toplam Kare Sayısı:
\text{Kare Sayısı} = \frac{\text{Kısa Kenar}}{\text{Kare Kenarı}} \times \frac{\text{Uzun Kenar}}{\text{Kare Kenarı}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Karelerin Kenar Uzunluğunun Belirlenmesi
Çiçek desenli karelerin sayısının en az olması için karelerin kenar uzunluğunun en büyük tam sayı değerini alması gerekir. Bu değer, 120\text{ cm} ve 500\text{ cm} uzunluklarının \text{EBOB}'udur:

120 = 2^3 \times 3 \times 5
500 = 2^2 \times 5^3
\text{EBOB}(120, 500) = 2^2 \times 5 = 20\text{ cm}

Adım 2 — Toplam Çiçek Deseni Sayısının Hesaplanması
Masa örtüsünün tamamı bu eş karelerden oluştuğu için yatay ve dikey sıralardaki kare adetleri çarpılır:

\text{Enine kare sayısı} = \frac{120}{20} = 6\text{ adet}
\text{Boyuna kare sayısı} = \frac{500}{20} = 25\text{ adet}
\text{Toplam Çiçek Sayısı} = 6 \times 25 = 150\text{ adet}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 150
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • EBOB (En Büyük Ortak Bölen): Bütünü eş parçalara ayırma problemlerinde parça boyutunu maksimize ederek parça sayısını en aza indirmek için kullanılır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Yalnızca çevre boyunca çiçek olduğunu varsayıp iç kısımları boş bırakmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Soruda “masa örtüsünün tamamı içlerinde çiçek deseni bulunan karesel bölgelerden oluşmaktadır” denildiğinden tüm alanın kaplandığını dikkate almak.

19. Soru: Asal Çarpan Sayılarına Göre A ve B Değerleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Sadece 1 asal çarpanı olan sayılar: Yalnızca tek bir asal sayının pozitif tam sayı kuvvetleri (p^k, k \ge 1) şeklindeki sayılardır (Örn: 2, 3, 4=2^2, 8=2^3).
  • 2 farklı asal çarpanı olan sayılar: p_1^a \cdot p_2^b (p_1 \neq p_2 asal) biçimindeki sayılardır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A Değerinin Hesaplanması (1 ile 20 arasındaki sayılar)
1 ile 20 arasındaki sayılardan yalnızca 1 asal çarpanı olanlar (asal sayılar ve asal sayıların kuvvetleri):

  • Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (8\text{ tane})
  • Asal kuvvetleri (k \ge 2):
    • 2^2 = 4
    • 2^3 = 8
    • 2^4 = 16
    • 3^2 = 9
      Bu sayılar: \{2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19\} olup toplam A = 12 tanedir.

Adım 2 — B Değerinin Hesaplanması (1 ile 25 arasındaki sayılar)
1 ile 25 arasındaki (2’den 24’e kadar) sayılardan tam olarak 2 farklı asal çarpanı olanlar:

  • 6 = 2 \times 3
  • 10 = 2 \times 5
  • 12 = 2^2 \times 3
  • 14 = 2 \times 7
  • 15 = 3 \times 5
  • 18 = 2 \times 3^2
  • 20 = 2^2 \times 5
  • 21 = 3 \times 7
  • 22 = 2 \times 11
  • 24 = 2^3 \times 3
    Bu sayılar toplam B = 10 tanedir.

Adım 3 — Toplamın Bulunması

A + B = 12 + 10 = 22

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) 22
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

20. Soru: Sınıflara Göre Proje Hazırlayan Öğrenci Sayısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir pozitif tam sayının pozitif bölenleri (çarpanları) bulunarak verilen koşullara uyan uygun çarpan seçilir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — 8A Sınıfının Proje Sayısı (28 Öğrenci)
28’in pozitif tam sayı çarpanları: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
5’ten büyük en küçük çarpan: 7 öğrencidir.

Adım 2 — 8B Sınıfının Proje Sayısı (30 Öğrenci)
30’un pozitif tam sayı çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
10’dan küçük en büyük çarpan: 6 öğrencidir.

Adım 3 — 8C Sınıfının Proje Sayısı (32 Öğrenci)
32’nin pozitif tam sayı çarpanları: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
İki basamaklı en küçük çarpan: 16 öğrencidir.

Adım 4 — Toplam Öğrenci Sayısının Hesaplanması

\text{Toplam Proje Sayısı} = 7 + 6 + 16 = 29

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) 29
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Çarpanlar ve katlar konusuyla ilgili benzer yeni nesil bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?