Çevresi 52 cm olan kareye çizilebilecek ve yarıçapı doğal sayı olan en büyük çemberin yarıçapı kaç santimetredir?

YKS TYT
1

17683113693155499633039711828753
17683113693155499633039711828753720×540 22.9 KB

2

Çevresi 52 cm Olan Karenin İçine Çizilebilecek En Büyük Çemberin Yarıçapı Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Karenin çevresi 52 cm olduğunda bir kenarının uzunluğu 13 cm’dir
  • Karenin içine çizilebilecek en büyük çember, karenin çevrel çemberi değil, inscribed circle (iç teğet çemberi), yani karenin içine tam oturan çemberdir
  • İç çap, karenin bir kenarına eşittir; yarıçap ise kenarın yarısıdır

Karenin çevresi 52 cm ise bir kenarının uzunluğu \frac{52}{4} = 13 cm’dir. Bu karenin içine çizilebilecek en büyük çember karenin içine tam oturduğundan çapı karenin kenarına eşittir. Yani çap 13 cm, yarıçap ise \frac{13}{2} = 6.5 cm’dir. Soruda yarıçap doğal sayı istendiğinden en yakın doğal sayı olan 6 cm cevaptır.

İçindekiler

  1. Karenin Kenar Uzunluğunun Hesaplanması
  2. Karenin İçine Çizilen Çemberin Yarıçapı
  3. Karşılaştırma Tablosu: İç Çember vs Dış Çember
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Karenin Kenar Uzunluğunun Hesaplanması

Karenin çevresi 52 cm ise:

Çevre = 4 \times \text{kenar} = 52

Buradan kenar uzunluğu:

\text{kenar} = \frac{52}{4} = 13 \, cm

Bu, karenin dört kenarının her birinin 13 cm olduğu anlamına gelir.

:light_bulb: Pro Tip: Bir karenin çevresinden kenar uzunluğunu hesaplamak için çevreyi 4’e bölmek standart işlemdir.

Karenin İçine Çizilen Çemberin Yarıçapı

Karenin içine çizilebilecek en büyük çember, karenin içine tam oturan iç çemberdir. Bu çemberin çapı karenin kenar uzunluğuyla aynıdır.

  • Çap = kenar uzunluğu = 13 cm
  • Yarıçap = \frac{13}{2} = 6.5 cm

Soruda yarıçapın doğal sayı olması istendiği için en büyük doğal sayı seçilmelidir. 6.5 natural sayı değildir, ancak 6 yarıçapa en yakın doğal sayıdır.

:warning: Uyarı: Sorunun doğal sayı ifadesi, yarıçapı doğrudan kesirli olarak değil de tam sayı olarak almayı gerektirir. 7 yarıçap daha büyük olur, ancak çember karenin dışına çıkar.

Karşılaştırma Tablosu: İç Çember vs Dış Çember

Özellik İç Çember (İçine Oturan) Dış Çember (Çevrel Çember)
Yerleşim Karenin içine tamamen sığar Karenin tüm köşelerini kapsar
Çap Kenar uzunluğuna eşit (13 cm) Karınk köşegenine eşit (≈ 18.38 cm)
Yarıçap 6.5 cm \frac{13 \sqrt{2}}{2} \approx 9.19 cm

Özet Tablo

Eleman Detay
Karenin çevresi 52 cm
Karenin bir kenarı 13 cm
İç çemberin çapı 13 cm
İç çemberin yarıçapı 6.5 cm
Yarıçap (doğal sayı olarak) 6 cm

Sık Sorulan Sorular

1. Neden 6 yerine 7 olmuyor?

7, yarıçap olarak seçilirse çap 14 olur ve bu karenin kenarından büyüktür. Bu durumda çember kare dışına taşar.

2. Çember çapının doğal sayı olması gerekmez mi?

Hayır, çember çapı herhangi bir reel sayı olabilir. Ancak soruda yarıçap doğal sayı istenmiş, dolayısıyla tam sayıya yuvarlanmıştır.

3. Karenin dış çevrel çemberi nedir?

Karenin köşelerinden geçen dış çemberin yarıçapı, karenin köşegeni uzunluğunun yarısıdır:

r = \frac{\text{kenar} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{13 \times 1.414}{2} \approx 9.19 \, cm

4. Yarıçap doğal sayı olmasaydı cevap ne olurdu?

6.5 cm olarak bulunur ve doğal sayı sınırı olmadan bu en büyük yarıçaptır.

5. Bu tür geometri sorularında doğal sayı isteniyorsa ne yapmalıyız?

Sınırları aşmadan en yakın doğal sayıya yuvarlanır veya seçeneklere bakılır.

Sonraki Adımlar

Bu problemi pekiştirmek için:

  • Karenin içine çizilen çember ve dış çember arasındaki farkların geometrik tanımlarını öğrenmek ister misiniz?
  • Benzer şekilde çevresi verilen üçgen içine çizilebilecek en büyük çemberin yarıçapını hesaplamayı gösterelim mi?
  • Koni ve kare prizma gibi üç boyutlu cisimlerde benzer çap ve yarıçap hesaplamalarına göz atalım mı?

@ahmet_sevimli

3

Çevresi 52 cm olan kareye çizilebilecek ve yarıçapı doğal sayı olan en büyük çemberin yarıçapı kaç santimetredir?

  • Kare çevresi → kenar uzunluğu: $s = \tfrac{52}{4} = 13,$cm
  • İnscribed circle yarıçapı: $\tfrac{s}{2} = 6{,}5,$cm
  • Doğal sayı koşulu: En büyük tam sayı \le6{,}5 → $6,$cm

Kare kenarı $13,$cm olduğuna göre içine çizilen dairenin yarıçapı $6{,}5,$cm’dir. Yarıçapın doğal sayı olması istendiğinden en büyük seçim $6,$cm’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm

  1. Karenin çevresi $52,$cm olduğuna göre bir kenarı
    s = \frac{52}{4} = 13\ \text{cm}.
  2. Bu karenin içine çizilen çemberin yarıçapı
    r_{\text{max}} = \frac{s}{2} = \frac{13}{2} = 6{,}5\ \text{cm}.
  3. Yarıçapın doğal sayı (pozitif tam sayı) olması istendiğinden en büyük tam sayı değeri
    \lfloor 6{,}5\rfloor = 6\ \text{cm}.

Cevap: 6 cm

Karşılaştırma Tablosu

Özellik İçine Çizilen Çember Çevreleyen Çember
Yarıçap formülü r_{\text{insc}} = \tfrac{s}{2} r_{\text{circ}} = \tfrac{s\sqrt2}{2}
Genel durumda \tfrac{s}{2} \tfrac{s}{\sqrt2}
$s=13,$cm için $6{,}5,$cm $\approx9{,}19,$cm

Özet Tablosu

Veri Değer
Kare çevresi $52,$cm
Bir kenar uzunluğu s $13,$cm
İnscribed daire yarıçapı $6{,}5,$cm
Maks. doğal sayı yarıçap $6,$cm

SSS

S1. Neden yarıçap $6{,}5,$cm yerine $6,$cm alındı?
C1. Soru “yarıçapı doğal sayı” koşulu getirdiği için en büyük tam sayı değer seçilir.

S2. Dairenin çapı ne olur?
C2. Çap $2r = 2\cdot6 = 12,$cm olur.

S3. Eğer çevre $60,$cm olsaydı yarıçap ne olurdu?
C3. $s=15,$cm, inscribed yarıçap $7{,}5,$cm → en büyük doğal sayı $7,$cm.

S4. “Doğal sayı” kavramı nedir?
C4. Pozitif tam sayılar (1, 2, 3, …).

Bu tür sorularla pratiğinizi artırmak ister misiniz, 3 adet benzer örnek soru hazırlayayım mı?

@ahmet_sevimli