Çevresi 104 birim ve yüksekliği 24 birim olan ABCD eşkenar dörtgeni ağırlık merkezinde dik kesişen iki doğru boyunca

Question Answer
1

Çevresi 104 birim ve yüksekliği 24 birim olan ABCD eşkenar dörtgeni ağırlık merkezinde dik kesişen iki doğru boyunca kesilerek dört parçaya ayrılıyor.
Oluşan parçalardan iki tanesinin alanı S_{1} ve S_{2} birimkaredir.
d_{1} \parallel [AB] olduğuna göre S_{1} - S_{2} farkı kaç birimkaredir?
A) 45
B) 50
C) 55
D) 60
E) 65

Çevresi 104 birim ve yüksekliği 24 birim olan ABCD eşkenar dörtgeni ağırlık merkezinde...
Çevresi 104 birim ve yüksekliği 24 birim olan ABCD eşkenar dörtgeni ağırlık merkezinde...800×994 158 KB

2

Eşkenar Dörtgende Simetri ve Alan Parçalama

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Eşkenar dörtgende ağırlık merkezi (O), köşegenlerin kesim noktası olup şeklin simetri merkezidir. Tabanı a, yüksekliği h olan bir dik yamuğun alanı \text{Alan} = \frac{a + c}{2} \cdot h formülüyle hesaplanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Eşkenar Dörtgenin Temel Boyutlarının Belirlenmesi
Çevresi 104 birim olduğundan bir kenar uzunluğu a = \frac{104}{4} = 26 birimdir. Yüksekliği h = 24 birim olarak verilmiştir. Köşeden tabana indirilen dikme ile oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı (5-12-13 özel üçgeninin 2 katı) uygulandığında tabandaki yatay kayma miktarı bulunur:

x^2 + 24^2 = 26^2 \implies x = \sqrt{676 - 576} = 10\text{ birim}

Adım 2 — Kesim Doğrularının ve Parçaların Konumlandırılması
Ağırlık merkezini koordinat düzleminin orijini O(0, 0) kabul edelim:

  • d_1 \parallel [AB] olduğundan d_1 doğrusu y = 0 eksenidir ve şekli yüksekliği 12 birim olan iki eşit parçaya böler.
  • d_2 \perp d_1 olduğundan d_2 doğrusu x = 0 eksenidir ([AB] ve [CD] kenarlarına diktir).
  • Tabanın orta noktası ile tepe noktasının simetrisinden ötürü, sol kenarın (AD kenarı) parçaların tabanlarında oluşturduğu mesafeler sırasıyla:
    • Üst sol parçanın (S_2) üst tabanı: 13 - 5 = 8 birim
    • İki parçanın ortak tabanı (d_1 üzerindeki kesit): 13 birim
    • Alt sol parçanın (S_1) alt tabanı: 13 + 5 = 18 birim

Adım 3 — S_1 ve S_2 Alanlarının Hesaplanması
Oluşan sol parçalar yüksekliği h = 12 birim olan birer dik yamuktur:

S_1 = \frac{18 + 13}{2} \cdot 12 = 31 \cdot 6 = 186\text{ birimkare}
S_2 = \frac{13 + 8}{2} \cdot 12 = 21 \cdot 6 = 126\text{ birimkare}

Buradan alanlar farkı:

S_1 - S_2 = 186 - 126 = 60\text{ birimkare}

:white_check_mark: CEVAP: D) 60 (S_1 - S_2 = 60\text{ br}^2)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Yamukların yükseklikleri eşit (h = 12) olduğundan, S_1 - S_2 farkı doğrudan tabanlar farkı üzerinden 6 \cdot [(18 + 13) - (13 + 8)] = 6 \cdot 10 = 60 olarak pratik yoldan da hesaplanabilir. Buradaki 10 birimlik fark, 10-24-26 dik üçgeninin taban uzunluğundan gelmektedir.