Çevre uzunluğu 4h olan bir tekerlek yatay düzlemde Şekil’deki gibi sabit hızla dönerek ilerliyor. Tekerlek üzerindeki x noktasının hızı tekerlek K noktasında geçerkenki hızı Vk L ve M noktasından geçerken VL ve Vm oluyor. Buna göre Vk,VL,Vm arasındaki büyüklük ilişki nedir?
Dönerek İlerleyen Tekerlekte Anlık Hız Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Kaymadan dönerek öteleme hareketi yapan bir tekerleğin herhangi bir noktasının anlık çizgisel hızı, öteleme hızı (\vec{v}_{\text{öt}}) ile dönme hızının (\vec{v}_{\text{dön}}) vektörel toplamına eşittir (\vec{v} = \vec{v}_{\text{öt}} + \vec{v}_{\text{dön}}). Pratik olarak bu hız, ilgili noktanın tekerleğin yere temas ettiği anlık dönme merkezine olan uzaklığı (d) ile doğru orantılıdır (v = \omega \cdot d).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Tekerleğin İlerleme Mesafesine Göre Dönme Açılarının Belirlenmesi
Tekerleğin çevre uzunluğu 4h olduğundan, 1 tam tur (360^\circ) 4h mesafeye karşılık gelir. Tekerlek saat yönünde dönerek ilerlediğinde:
- h kadar ilerleyip K noktasına geldiğinde: \frac{h}{4h} \cdot 360^\circ = 90^\circ döner. Başlangıçta en tepede bulunan X noktası tekerleğin en sağ ucuna gelir.
- 2h kadar ilerleyip L noktasına geldiğinde: \frac{2h}{4h} \cdot 360^\circ = 180^\circ döner. X noktası yerle temas eden en alt noktaya gelir.
- 3h kadar ilerleyip M noktasına geldiğinde: \frac{3h}{4h} \cdot 360^\circ = 270^\circ döner. X noktası tekerleğin en sol ucuna gelir.
Adım 2 — Noktaların Anlık Hız Büyüklüklerinin Hesaplanması
Tekerleğin kütle merkezinin öteleme sürati v olsun. Bu durumda tekerlek yüzeyindeki noktaların dönme sürati de v_{\text{dön}} = v olur:
- K noktasında: X en sağdadır; yatay öteleme hızı ile düşey dönme hızı birbirine diktir:v_K = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2}
- L noktasında: X yerle temas noktasıdır. Sağa doğru öteleme hızı (+v) ile sola doğru dönme hızı (-v) birbirini sıfırlar:v_L = v - v = 0
- M noktasında: X en soldadır; yatay öteleme hızı ile yukarı yönlü dönme hızı birbirine diktir:v_M = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2}
CEVAP: v_K = v_M > v_L (v_K = v_M = v\sqrt{2} ve v_L = 0)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Dönerek kaymadan ilerleyen cisimlerde anlık dönme merkezi daima tekerleğin yere değdiği temas noktasıdır. En alt noktanın yere göre anlık hızı daima sıfırdır (v_{\text{taban}} = 0), en üst noktanın hızı ise maksimumdur (2v). Hızları karşılaştırırken mesafeyi tepe noktasına göre değil, anlık temas noktasına göre ölçmek gerekir.