stir
bi-
elen
dolte
Cevdet, üzerinde 1’den 11’e kadar sayılar yazilı 11 toptan
önce 3 top aliyor.
Daha sonra iki top daha alıyor.
Cevdetin aldığı toplarla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmek-
0tedir.
Önce alınan 3 top ile sonra alıinan 2 top üzerinde yazılı
sayılar ardışık sayılardır.
Önceki üç top üzerinde yazılı sayıların toplamı sonraki
Buna göre, Cevdetin aldığı toplar üzerindeki sayıların
toplamı kaç farklı değer alır?
A) 1
2B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Cevdet’in Aldığı Ardışık Sayılı Topların Toplamı
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Ardışık sayıları ifade etmek için bilinmeyen kullanırız.
- 3 ardışık sayı: n, n+1, n+2
- 2 ardışık sayı: m, m+1
- Sayılar 1 ile 11 arasındadır (1 \le n, m \le 11).
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Sayıları Tanımlama
Önce alınan 3 topun üzerindeki sayılar ardışık olduğuna göre bu sayılara x, x+1, x+2 diyelim.
Sonra alınan 2 topun üzerindeki sayılar da ardışık olduğuna göre bu sayılara y, y+1 diyelim.
Adım 2 — Toplamların Eşitliği Denklemini Kurma
Soruda verilen bilgiye göre; ilk 3 topun toplamı, sonraki 2 topun toplamına eşittir:
x + (x+1) + (x+2) = y + (y+1)
3x + 3 = 2y + 1
3x + 2 = 2y
Adım 3 — Değişkenlerin Sınırlarını Belirleme ve Değer Verme
Elimizdeki denklem: 2y = 3x + 2. Sayıların 1 ile 11 arasında olduğunu ve tüm sayıların birbirinden farklı (toplam 5 farklı top alınıyor) olması gerektiğini unutmamalıyız.
-
Durum 1: x = 2 ise;
2y = 3(2) + 2 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4 olur.
Önceki toplar: \{2, 3, 4\}
Sonraki toplar: \{4, 5\}
Kontrol: Sayılar kümesinde 4 sayısı her iki grupta da var. Ancak Cevdet önce 3 top alıp sonra kalanlardan 2 top daha aldığı için bir sayı iki kez seçilemez. Bu durum elenir. -
Durum 2: x = 4 ise;
2y = 3(4) + 2 \Rightarrow 2y = 14 \Rightarrow y = 7 olur.
Önceki toplar: \{4, 5, 6\}
Sonraki toplar: \{7, 8\}
Tüm sayılar farklıdır ve 1-11 aralığındadır. (Geçerli)
Toplam: 4+5+6+7+8 = 30 -
Durum 3: x = 6 ise;
2y = 3(6) + 2 \Rightarrow 2y = 20 \Rightarrow y = 10 olur.
Önceki toplar: \{6, 7, 8\}
Sonraki toplar: \{10, 11\}
Tüm sayılar farklıdır ve 1-11 aralığındadır. (Geçerli)
Toplam: 6+7+8+10+11 = 42 -
Durum 4: x = 8 ise;
2y = 3(8) + 2 \Rightarrow 2y = 26 \Rightarrow y = 13 olur.
Ancak toplar en fazla 11’e kadar numaralandırılmıştır. Bu durum elenir.
Adım 4 — Sonuçların Değerlendirilmesi
Elde ettiğimiz geçerli durumlar sonucunda toplamın alabileceği değerler 30 ve 42’dir. Yani 2 farklı değer oluşur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] B) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Ardışık Sayılar
- Tanım: Aralarındaki fark sabit (genellikle 1) olan tam sayılar dizisidir.
- Bu problemde: Hem ilk alınan grup hem de ikinci alınan grup kendi içinde ardışık dizilmiştir.
2. Küme Farklılığı
- Tanım: Bir seçim yapıldığında seçilen elemanlar gruptan ayrılır.
- Bu problemde: İlk gruptaki \{2, 3, 4\} ile ikinci gruptaki \{4, 5\} örneğinde 4 rakamı çakıştığı için çözüm kümesine dahil edilmemiştir.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Rakamların Çakışmasını Unutmak
- Yanlış: x=2 için y=4 değerini kabul edip toplam 3 farklı değer olduğunu düşünmek.
- Doğru: Torbada her numaradan bir tane olduğu için aynı numaralı top iki kez seçilemez.
- Neden Yanlış: Soruda toplam 5 topun alındığı ve bu topların numarasının 1’den 11’e kadar olduğu belirtilmiştir.
Bu tür problemlerde denklemi sağlayan diğer değerleri de görmek ister misin? Bu soruya benzer bir pratik sorusu hazırlamamı ister misin?
ben 5 topun 5i de ardışık olarak anlamıştım soruyu nasıl dopru okuyacağım
Anlama şeklin oldukça yaygın bir durum, Muhammed. Bu tür sorularda “ardışık” kelimesinin hangi grupları nitelediğine dikkat etmek gerekir. Soruyu doğru analiz etmek için şu stratejiyi izleyebilirsin:
Soruyu Doğru Okuma ve Analiz Etme Rehberi
Bu soruda yapılan en kritik hata, tüm topların tek bir ardışık dizi oluşturduğunu varsaymaktır. Ancak soruda iki ayrı eylem ve iki ayrı grup tanımlanmıştır.
[Önemli İpuçları]
- Gruplandırmaya Dikkat Et: Soruda “Önce alınan 3 top” ve “sonra alınan 2 top” ifadeleri ayrı ayrı geçiyor. Eğer hepsi ardışık olsaydı, “Alınan 5 topun tamamı ardışıktır” ifadesi kullanılırdı.
- “Ve” Bağlacının İşlevi: “Önce alınan 3 top ile sonra alınan 2 top üzerinde yazılı sayılar ardışık sayılardır” cümlesindeki “ardışık sayılardır” yüklemi, her iki grubu da ayrı ayrı niteler.
- Bağımsızlık İlkesi: Matematik sorularında aksi belirtilmedikçe (örneğin “bu beş sayı ardışık bir dizi oluşturur” denmedikçe), grupların kendi içinde ardışık olduğunu, ancak birbirinin devamı olmak zorunda olmadığını düşünmelisin.
[Tablo ile Karşılaştırma]
Soruyu nasıl okuduğun ile sorunun aslında ne istediği arasındaki farkı buradan görebilirsin:
| Senin Anladığın (Hatalı) | Sorunun İstediği (Doğru) |
|---|---|
| Tüm toplar: \{n, n+1, n+2, n+3, n+4\} | Grup 1: \{x, x+1, x+2\} ve Grup 2: \{y, y+1\} |
| Tek bir başlangıç noktası (n) | İki farklı başlangıç noktası (x ve y) |
| Sayılar birbirinin tam devamı | Gruplar arasında boşluk olabilir veya farklı sayılar olabilir |
[Pratik Okuma Egzersizi]
Benzer bir hataya düşmemek için şu adımları izle:
- Noktalama İşaretlerine Bak: “Önce alınan 3 top (virgül) sonra alınan 2 top…” Burada bir ayrım yapıldığı belli.
- Denklemi Kurmadan Önce Çiz: Kağıda iki ayrı kutu çiz. Birine 3 tane boşluk, diğerine 2 tane boşluk bırak. Sorunun bu iki kutu arasında kurduğu ilişkiyi (toplamların eşitliği) bu görsel üzerinden oku.
- Kısıtları Belirle: “1’den 11’e kadar” ve “farklı toplar” kısıtları, senin deneme yanılma yaparken sınırlarını belirler.
[Sıkça Sorulan Sorular]
1. “Ardışık” yerine “Ardışık tek” veya “Ardışık çift” deseydi ne değişirdi?
O zaman sayılar arasındaki fark 1 değil, 2 olurdu. Örneğin; x, x+2, x+4 şeklinde tanımlaman gerekirdi.
2. Soruda “Hepsi ardışık” deseydi cevap ne çıkardı?
Eğer 5 topun hepsi ardışık olsaydı: x + (x+1) + (x+2) = (x+3) + (x+4) denklemini kurardık. Buradan 3x + 3 = 2x + 7 \Rightarrow x = 4 gelirdi. Yani sadece \{4, 5, 6, 7, 8\} kümesi olurdu ve cevap “1 farklı değer” çıkardı.
Bu tür “tuzak” ifadeleri daha hızlı fark etmek için, sana sadece metin analizi gerektiren benzer bir mantık sorusu hazırlamamı ister misin?
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Cevdet’in Ardışık Sayılı Toplar Sorusu Çözümü
Muhammed, bu soruyu adım adım ve en sade haliyle çözelim. Sorunun püf noktası, alınan iki farklı grubun kendi içlerinde ardışık olmasıdır.
[KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
- Ardışık 3 sayı: x, x+1, x+2
- Ardışık 2 sayı: y, y+1
- Eşitlik: (x) + (x+1) + (x+2) = (y) + (y+1)
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Denklem Kurma
Önce alınan 3 topun toplamını, sonra alınan 2 topun toplamına eşitleyelim:
3x + 3 = 2y + 1
Bu denklemi sadeleştirdiğimizde:
3x + 2 = 2y elde ederiz.
Burada 2y her zaman çift bir sayı olacağı için, 3x + 2 ifadesinin de çift olması gerekir. Bu da x değerinin mutlaka çift bir sayı olması gerektiğini gösterir (2, 4, 6, 8...).
Adım 2 — x = 2 Durumunu İnceleme
- x = 2 olursa; 2y = 3(2) + 2 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y = 4 olur.
- Birinci grup: \{2, 3, 4\}
- İkinci grup: \{4, 5\}
- Sorun: Her iki grupta da 4 numaralı top var. Ancak alınan toplar torbadan çıktığı için aynı numaralı top iki kez alınamaz. Bu yüzden bu durum geçersizdir.
Adım 3 — x = 4 Durumunu İnceleme
- x = 4 olursa; 2y = 3(4) + 2 \Rightarrow 2y = 14 \Rightarrow y = 7 olur.
- Birinci grup: \{4, 5, 6\}
- İkinci grup: \{7, 8\}
- Sonuç: Tüm sayılar farklı ve 1-11 arasındadır. (1. Değer)
- Toplam: 4+5+6+7+8 = 30
Adım 4 — x = 6 Durumunu İnceleme
- x = 6 olursa; 2y = 3(6) + 2 \Rightarrow 2y = 20 \Rightarrow y = 10 olur.
- Birinci grup: \{6, 7, 8\}
- İkinci grup: \{10, 11\}
- Sonuç: Tüm sayılar farklı ve 1-11 arasındadır. (2. Değer)
- Toplam: 6+7+8+10+11 = 42
Adım 5 — x = 8 Durumunu İnceleme
- x = 8 olursa; 2y = 3(8) + 2 \Rightarrow 2y = 26 \Rightarrow y = 13 olur.
- Sorun: Toplar en fazla 11’e kadar numaralandırılmıştır. y=13 olamaz. Bu durum geçersizdir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] B) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Nesne Eksilmesi (Kümelerin Ayrıklığı)
- Tanım: Bir torbadan top çekildiğinde, o top artık torbada yoktur.
- Bu problemde: Birinci grupta kullandığın bir sayıyı, ikinci grupta kullanamazsın.
2. Değişken Sınırları
- Tanım: Problemin başında verilen tanım aralığıdır (1’den 11’e kadar).
- Bu problemde: Bulduğun y veya y+1 değerleri 11’i geçmemelidir.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Tüm Sayıları Tek Bir Dizi Sanmak
- Hatalı Düşünce: 4, 5, 6, 7, 8 gibi hepsinin birbirini takip etmesi gerektiğini düşünmek.
- Doğru Yaklaşım: Sorudaki “ile” bağlacı grupları ayırır. Gruplar kendi içinde ardışık olmalı, aralarında kopukluk olabilir (Örn: 6,7,8 bittikten sonra 10,11 başlayabilir).
[Özet Tablo]
| Başlangıç (x) | 1. Grup Topları | 2. Grup Topları | Durum |
|---|---|---|---|
| 2 | 2, 3, 4 | 4, 5 | (4 tekrar ediyor) |
| 4 | 4, 5, 6 | 7, 8 | (Geçerli) |
| 6 | 6, 7, 8 | 10, 11 | (Geçerli) |
| 8 | 8, 9, 10 | 13, 14 | (11’i aşıyor) |
Çözümün bu şekilde adım adım anlatılması kafandaki soru işaretlerini giderdi mi? İstersen bu mantığı pekiştirmek için sadece “çakışan sayı” tuzağına odaklanan kısa bir soru daha sorabilirim?