Sıfırdan farklı a ve b gerçek sayıları için a > b ve |a| < |b| olduğuna göre, I) a + b < 0, II) a·b < 0, III) a - b < 0 ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Cevap:
Bu soruda, verilen koşulları dikkate alarak (a > b ve |a| < |b|) aşağıdaki üç ifadenin her zaman geçerli olup olmadığını incelememiz isteniyor:
- a + b < 0
- a · b < 0
- a - b < 0
Aşağıda, her bir ifadenin koşullar altındaki doğruluğunu adım adım inceliyor olacağız. Ayrıca, koşulları desteklemek amacıyla çeşitli örnekler, tablolar ve matematiksel çıkarımlar sunulmaktadır.
1) a + b < 0 ifadesinin incelenmesi
a > b ve |a| < |b| koşullarına göre şu olasılıkları düşünebiliriz:
- a ve b negatif olabilir (örneğin, a = -2, b = -3).
- a pozitif, b ise negatif olabilir (örneğin, a = 1, b = -2).
Bu iki ana durum haricinde, a’nın mutlak değeri b’den küçük olduğu için, eğer a pozitif bir sayı ise b çok büyük negatif (mutlak değerce büyük) olacaktır. Böylelikle a + b’nin toplamı negatif çıkacaktır. Eğer hem a hem b negatif ise, b daha negatif olduğundan (b < a < 0) yine toplam negatif çıkacaktır.
Örnekleri inceleyelim:
-
Örnek 1: a = -2, b = -3
- a + b = -2 + (-3) = -5 < 0
- a > b (çünkü -2 > -3), |a| = 2, |b| = 3, dolayısıyla |a| < |b|
-
Örnek 2: a = 0.5, b = -2
- a + b = 0.5 + (-2) = -1.5 < 0
- a > b (çünkü 0.5 > -2), |a| = 0.5, |b| = 2, dolayısıyla |a| < |b|
Bu örneklerde de görüldüğü gibi, a + b her zaman negatiftir. Çünkü a>0 bile olsa, b’nin mutlak değeri a’nın mutlak değerinden büyük ve b negatif olduğundan, toplamları mutlaka negatiftir. Dolayısıyla I. ifade her zaman doğrudur.
2) a · b < 0 ifadesinin incelenmesi
Bir çarpımın negatif olabilmesi için sayıların zıt işaretli olması gerekir. Ancak:
-
Eğer a ve b ikisi de negatif ise (örneğin a = -2 ve b = -3):
a · b = (-2) · (-3) = 6 > 0, yani pozitif çıkar, bu koşullarda a · b < 0 gerçekleşmez.
Bu durumda a > b ifadesi (-2 > -3) doğru, fakat çarpım negatif değildir. -
Eğer a pozitif ve b negatif ise (örneğin a = 1, b = -2):
a · b = (1) · (-2) = -2 < 0 olur.
Görüldüğü üzere, a · b < 0 ifadesi ancak “sayıların işaretleri farklı” olduğunda geçerlidir. Oysa a ve b her ikisi de negatif olabilir. Dolayısıyla “a · b < 0 ifadesinin her zaman doğru olması” söz konusu değildir. Kimi durumlarda doğrulanır, kimi durumlarda doğrulanmaz.
Bu nedenle II. ifade her zaman geçerli değildir.
3) a - b < 0 ifadesinin incelenmesi
a > b dendiğinde normalde a - b > 0 bekleriz. Gerçekten de, a = -2 ve b = -3 alalım:
- a - b = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1 > 0.
Bu da III. ifadenin (a - b < 0) yanlış olduğunu göstermektedir. Hem negatif sayılar durumunda hem de a pozitif, b negatif durumunda a her zaman b’den büyük olduğu için a - b genellikle pozitif olur. Dolayısıyla III. ifade her zaman doğru olamaz.
Örnek Değerler Tablosu
Aşağıdaki tablo, farklı örnekler üzerinden I), II) ve III) ifadelerinin sonuçlarını özetlemektedir:
| Örnek (a,b) | Koşul | a + b | a · b | a - b | Sonuç |
|---|---|---|---|---|---|
| (-2, -3) | a > b, | a | < | b | |
| (0.5, -2) | a > b, | a | < | b | |
| (-1, -4) | a > b, | a | < | b |
Tabloda da görüldüğü üzere, I) ifade (a + b < 0) her durumda doğru iken, II) ifade (a · b < 0) ve III) ifade (a - b < 0) bazen doğru bazen yanlış olmaktadır.
Sonuç
Verilen “a > b ve |a| < |b|” koşulları altında:
- a + b < 0 ifadesi her zaman doğrudur.
- a · b < 0 ifadesi her zaman geçerli değildir. (Özellikle a ve b ikisi de negatif olduğunda çarpım pozitif olur.)
- a - b < 0 ifadesi her zaman geçerli değildir. (a > b olduğu için a - b genellikle pozitiftir.)
Bu nedenle sorunun doğru yanıtı “A) Yalnız I” seçeneğidir.
Cevap yokk
Sıfırdan farklı a ve b gerçek sayıları için a > b ve |a| < |b| olduğuna göre, I) a + b < 0, II) a·b < 0, III) a - b < 0 ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Cevap:
Bu soruda, iki gerçek sayı olan a ve b’nin sıfırdan farklı olduğu ve a > b ile |a| < |b| bilgileri verilmektedir. Burada üç farklı ifade sorgulanmaktadır:
- a + b < 0
- a·b < 0
- a - b < 0
Bu üç ifadenin her zaman (yani koşulsuz olarak) doğru olup olmadığını belirlemek için önce a ve b arasındaki ilişkiyi detaylıca incelemek gerekir. Aşağıdaki bölümlerde, sırasıyla her ifadeyi masaya yatıracağız ve örnekler üzerinden doğru veya yanlış olabileceğini tartışacağız. Ardından tablo yardımı ile farklı durumları özetleyeceğiz. Son olarak da sorunun doğru seçeneğini açıklayacağız.
1) a > b ve |a| < |b| Koşulları
- a > b: Bu ifade, a’nın b’den büyük bir sayı olduğunu belirtir. Örneğin, eğer b negatif bir sayıysa (diyelim -5), a bu değerden daha büyük fakat yine de negatif olabilir (örneğin -3), veya a pozitif iken b negatif de olabilir (örneğin a = 2 ve b = -3).
- |a| < |b|: Bu ifade, a’nın mutlak değerinin b’nin mutlak değerinden küçük olduğunu belirtir. Bu, b’nin gerçekte sayıca a’dan daha “büyük” (daha uzak) olduğunu gösterir fakat işaretine dair doğrudan bir ipucu vermez. Ancak, b’nin mutlak değerinin a’nınkinden büyük olması, b’nin negatif olması durumunda b’nin “daha büyük negative” bir sayıya işaret edebileceği gibi b’nin pozitif olduğu bir senaryoda da b sayısal olarak a’dan daha büyük olabilir.
Sıfırdan farklı oldukları için a = 0 veya b = 0 durumu söz konusu değildir. Bu nedenle işaret analizinde kolaylıkla “pozitif/negatif” dağılımı yapılabilir.
2) I) a + b < 0 ifadesi
Bu ifadenin “her zaman” doğru olması için hangi şartların sağlanması gerektiğini görelim:
- a + b’nin negatif olması, toplamın sıfırın altında kaldığını gösterir.
- Verilen |a| < |b| ve a > b koşulları, b’nin mutlak değerce a’dan büyük olduğunu gösterir.
- Eğer b negatifse, b’nin mutlak değeri a’nın mutlak değerinden büyük olduğu için b + a muhtemelen negatif bir sonuç verecektir.
- Örneğin:
- a = -3, b = -4. Bu durumda a + b = (-3) + (-4) = -7 < 0’dır ve |a| = 3, |b| = 4, dolayısıyla |a| < |b| ve ayrıca a > b olduğu için (-3 > -4).
- a = 1, b = -2. Bu durumda a + b = 1 + (-2) = -1 < 0’dır. Burada da a > b (1 > -2) ve |a| = 1, |b| = 2, dolayısıyla |a| < |b|.
Genel olarak a’nın pozitif olmasına rağmen b’nin mutlaka a’dan daha büyük mutlak değere sahip, üstelik b < 0 ise, toplam bu negatif değerin etkisiyle sıfırın altına düşer.
Eğer a da negatif, b de negatif ise, yine b daha “büyük negatif” olduğundan toplam negatif olmaya devam eder. Dolayısıyla:
I) a + b < 0 ifadesi bu koşullar altında her zaman doğrudur.
3) II) a·b < 0 ifadesi
Bir çarpımın negatif olması için sayıların zıt işaretli olması gerekir.
- Eğer a pozitif ve b negatif ise a · b < 0 olur ve ifade doğrudur.
- Ancak, a ve b’nin ikisi de negatif olabilir. a > b ifadesi (-2 > -5 gibi) yine geçerli iken, bu durumda a ve b her ikisi de negatif olduğu için çarpımları pozitif olur. Örneğin:
- a = -2, b = -3 (a > b, çünkü -2 > -3)
- a·b = (-2)·(-3) = 6 > 0. Dolayısıyla bu koşulda II) ifade sağlanmaz.
Bu örnek, II) ifadesinin “her zaman” geçerli olmayacağını gösterir. Sayıların her ikisi de negatif seçilebildiğinden “a·b < 0” ifadesi mutlaka doğru değildir.
Sonuç: a·b < 0 her zaman doğru değildir.
4) III) a - b < 0 ifadesi
Bu ifade a - b < 0 demektir, yani a < b anlamına gelir. Ancak elimizde a > b koşulu vardır. Normalde a - b = a + (-b) biçiminde düşünüldüğünde, eğer a > b ise a - b büyük ihtimalle pozitiftir. Mesela:
- a = -2, b = -3 → a - b = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1 > 0
- a = 1, b = -2 → a - b = 1 - (-2) = 3 > 0
Bu örnekler a - b ifadesinin pozitif olduğunu gözler önüne sermektedir. Oysa III) ifade “a - b < 0” diyor; bu, a’nın b’den küçük olduğu anlamına geleceği için, a > b koşulu altında neredeyse hiçbir zaman doğru değildir.
Sonuç: a - b < 0 her zaman hatalıdır.
5) Örnek Durumlar Tablosu
Aşağıda, farklı örnek (a, b) değerleri üzerinden I), II) ve III) ifadelerinin geçerliliğini gösteren bir tablo sunulmuştur:
| Örnek (a, b) | Şartlar | a + b | a·b | a - b | Değerlendirme |
|---|---|---|---|---|---|
| (-2, -3) | a > b (çünkü -2 > -3), | a | < | b | |
| (1, -2) | a > b (1 > -2), | a | < | b | |
| (-1, -4) | a > b (-1 > -4), | a | < | b | |
| (0.5, -5) | a > b (0.5 > -5), |0.5|< | 5 | 0.5-5 = -4.5 < 0 | -2.5 < 0 |
Tablodan anlaşılacağı üzere:
- I) a + b < 0 satırlarda incelendiğinde her zaman doğru çıkmaktadır.
- II) a·b < 0 ise bazen doğru, bazen yanlış olmaktadır (aynı işaretli negatif sayılar seçilirse yanlış, zıt işaretli sayılar seçilirse doğru).
- III) a - b < 0 ifadesi çoğunlukla hatalıdır (özellikle a > b ise a - b > 0 olması beklenir).
6) Nihai Değerlendirme ve Doğru Cevap
Yukarıdaki incelemeler sonucunda:
- I) a + b < 0 ifadesi her zaman geçerlidir.
- II) a·b < 0 ifadesi, a ve b’nin ikisi de negatif olabilir, dolayısıyla “her zaman” geçerli değildir.
- III) a - b < 0 ifadesi, a > b şartına zıt düştüğü için “her zaman” geçerli değildir.
Dolayısıyla sorularda “hangi ifadeler her zaman doğrudur?” denildiği için, Yalnız I (A şıkkı) seçeneği doğru cevaptır.