Soruyu anladım — kare ABCD, köşegen BD üzerinde E noktası; BE=17, ED=7 olduğuna göre \cos\angle DEC nedir?
Çözüm (koordinat yöntemiyle, kısa ve net):
Kare kenarını s alalım. Köşeleri: B(0,s),\ C(0,0),\ D(s,0). BD doğrultusunda E, B’den t=\dfrac{17}{24} oranında uzaklıkta olduğundan
E\big(\tfrac{17}{24}s,\ \tfrac{7}{24}s\big).
Vektörler:
\overrightarrow{ED}=D-E=\big(\tfrac{7}{24}s,\ -\tfrac{7}{24}s\big),
\overrightarrow{EC}=C-E=\big(-\tfrac{17}{24}s,\ -\tfrac{7}{24}s\big).
İç çarpım:
\overrightarrow{ED}\cdot\overrightarrow{EC}
= \tfrac{7}{24}s\cdot\big(-\tfrac{17}{24}s\big) + \big(-\tfrac{7}{24}s\big)\cdot\big(-\tfrac{7}{24}s\big)
= -\tfrac{70}{576}s^2.
Normlar:
|\overrightarrow{ED}|=\tfrac{7}{24}s\sqrt{2},\quad
|\overrightarrow{EC}|=\tfrac{s}{24}\sqrt{17^2+7^2}=\tfrac{s}{24}\sqrt{338}.
Bunların çarpımı:
|\overrightarrow{ED}||\overrightarrow{EC}|
=\tfrac{7s^2}{24^2}\sqrt{2\cdot338}=\tfrac{7s^2}{576}\cdot 26=\tfrac{182}{576}s^2.
Dolayısıyla
\cos\angle DEC
=\dfrac{\overrightarrow{ED}\cdot\overrightarrow{EC}}{|\overrightarrow{ED}||\overrightarrow{EC}|}
=\dfrac{-70/576}{182/576}=-\dfrac{70}{182}=-\dfrac{5}{13}.
Cevap: \boxed{-\dfrac{5}{13}}.
İstersen adımları başka bir yöntemle (ör. benzetim veya geometriyle) de gösteririm.
Question:
ABCD karesinde köşegen BD üzerinde E noktası verilmiştir. BE = 17 br, ED = 7 br olduğuna göre ∠DEC açısının kosinüsü, yani cos(DEC) kaçtır?
Table of Contents
4.1 *
4.2 *
4.3 *
5. *
6. *
7. *
8. *
1. Sorunun Özeti
- Elimizde ABCD karesi var.
- BD köşegeni üzerine alınan E noktası için
- BE = 17 br
- ED = 7 br
- Hedefimiz: ∠DEC açısının kosinüs değerini, yani cos(DEC)’i bulmak.
2. Kare ve Verilen Uzunluklar
- Bir karenin köşegen uzunluğu, bir kenar uzunluğuna s dersek,
- Verilenlere göre
3. Köşegen Uzunluğunun Hesaplanması
Köşegen uzunluğu BD = 24 olduğuna göre karenin kenar uzunluğu s şudur:
$
s \sqrt{2} = 24
\quad\Longrightarrow\quad
s = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}
$
4. Üçgen DEC’nin Kenar Uzunlukları
∠DEC açısını bulabilmek için üçgen DEC’nin üç kenarını biliyor olmamız gerekiyor.
4.1 DC Kenarı (Karenin Bir Kenarı)
Karenin bir kenarı:
$
DC = s = 12\sqrt{2}
$
4.2 DE Kenarı
Doğrudan verilen:
$
DE = 7
$
4.3 EC Kenarı (Kosínüs Teoremi ile)
Üçgen D–E–C’de, DC ile DE arasındaki açı, karenin köşegeninin kenarla yaptığı açı olan 45°’dir.
Kosínüs teoremiyle $EC$’yi hesaplayalım:
$
EC^2 = DC^2 + DE^2 - 2 , DC , DE ,\cos 45^\circ
$
Yerine koyarsak:
$
\begin{aligned}
EC^2
&= (12\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2\cdot(12\sqrt{2})\cdot7\cdot\frac{\sqrt2}{2} \
&= 288 + 49 - 2 \cdot 12 \cdot 7 \
&= 337 - 168 \
&= 169
\end{aligned}
$
Dolayısıyla
$
EC = \sqrt{169} = 13
$
5. Açı Cosinüs Teoremi ile Cosinüsün Bulunması
Üçgen DEC’de;
- DE = 7
- EC = 13
- DC = 12\sqrt{2}
∠DEC açısının kosinüsünü yine kosínüs teoremiyle bulabiliriz:
$
\cos(\angle DEC)
= \frac{DE^2 + EC^2 - DC^2}{2 \cdot DE \cdot EC}
$
Yerine koyalım:
$
\begin{aligned}
\cos(\angle DEC)
&= \frac{7^2 + 13^2 - (12\sqrt{2})^2}{2 \cdot 7 \cdot 13} \
&= \frac{49 + 169 - 288}{182} \
&= \frac{-70}{182} \
&= -\frac{35}{91} \
&= -\frac{5}{13}
\end{aligned}
$
Sonuç olarak
cos(DEC) = –5/13
6. Detaylı Hesap Adımları
- BD köşegen uzunluğunu toplama ile bulduk: BD=17+7=24.
- Karenin kenarı: s=24/\sqrt2=12\sqrt2.
- Üçgen DEC kenarlarını:
- DC = 12\sqrt2
- DE = 7
- $EC$’yi, \angle D = 45° kabul ederek kosínüs teoremiyle 13 bulduk.
- Üçgen DEC’de $\cos(\angle DEC)$’i yine kosínüs teoremiyle –5/13 olarak elde ettik.
7. Özet Tablosu
| Kenar | İfade | Değer |
|---|---|---|
| DC (Karenin kenarı) | s = 12\sqrt2 | 12\sqrt2 |
| DE | Verilen | 7 |
| EC | Kosínüs Teoremi sonucu | 13 |
| \cos(\angle DEC) | Kosínüs Teoremi | -\tfrac{5}{13} |
8. Sonuç
cos(DEC) = –5/13 seçeneği doğru cevaptır.