Cevap Anahtarı: E Soru No: 33 işleminin sonucu kaçtır?

KPSS
1

Cevap Anahtarı: E
Soru No: 33
A) 1
V27 -
V75 +
işleminin sonucu kaçtır?

2

\frac{\sqrt{27} - \frac{4}{\sqrt{48}}}{\sqrt{75} + \frac{2}{\sqrt{12}}} İşleminin Sonucu

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:

  • Köklü sayıları a\sqrt{b} biçiminde yazma: \sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}
  • Kesirlerde sadeleştirme ve ortak payda ile çıkarma/toplama kuralları

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Köklü İfadeleri a\sqrt{b} Biçimine Getirme
İfadelerdeki her bir karekökü en sade çarpanlarına ayıralım:

  • \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}
  • \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}
  • \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}
  • \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}

Adım 2 — Pay Kısmını Hesaplama
Bulduğumuz değerleri pay kısmında yerine koyup sadeleştirelim:

\text{Pay} = \sqrt{27} - \frac{4}{\sqrt{48}} = 3\sqrt{3} - \frac{4}{4\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}

Paydaları eşitleyelim:

3\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 3 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{9 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}

Adım 3 — Payda Kısmını Hesaplama
Değerleri payda kısmında yerine koyup sadeleştirelim:

\text{Payda} = \sqrt{75} + \frac{2}{\sqrt{12}} = 5\sqrt{3} + \frac{2}{2\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}

Paydaları eşitleyelim:

5\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{15 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}

Adım 4 — Payı Paydaya Bölme
Pay ve payda değerlerini oranlayalım:

\frac{\text{Pay}}{\text{Payda}} = \frac{\frac{8}{\sqrt{3}}}{\frac{16}{\sqrt{3}}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Karekök Dışına Çıkarma

  • Tanım: Tam kare çarpanı olan sayılar kök dışına çıkarılarak ifade a\sqrt{b} biçiminde yazılır.
  • Bu problemde: \sqrt{48} = 4\sqrt{3} ve \sqrt{12} = 2\sqrt{3} olarak yazılarak kesirlerdeki katsayılar sadeleştirilmiştir.

2. Köklü Sayılarda Dört İşlem

  • Tanım: Kök dereceleri ve kök içleri aynı olan ifadeler kendi aralarında toplanıp çıkarılabilir veya rasyonel işlemlerle birleştirilebilir.
  • Bu problemde: Pay ve paydadaki terimler \sqrt{3} ortak kökü sayesinde pratik şekilde toplanıp bölünmüştür.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Köklü İfadeleri Sadeleştirmeden Eşlenik ile Çarpmak

  • Yanlış: \frac{4}{\sqrt{48}} ifadesinde doğrudan büyük sayılarla eşlenik çarpımı yaparak işlem kalabalığı yaratmak.
  • Doğru: \sqrt{48} = 4\sqrt{3} yazarak paydaki 4 ile paydadaki 4’ü sadeleştirmek ve ifadeyi \frac{1}{\sqrt{3}} haline getirmek.
  • Neden yanlış: İşlemi uzatır ve işlem hatası yapma riskini artırır.

Köklü sayılarda eşlenik ve sadeleştirme mantığını pekiştirmek için benzer bir KPSS tarzı soru daha çözmemi ister misin?