Çemberde Teğet ve Açıortay İlişkisi ile Uzunluk Hesabı

Üniversite
1

bunh düzgün bir şekilde çöz

Soru Görseli
Soru Görseli1024×487 158 KB

2

Çemberde Teğet ve Açıortay İlişkisi ile Uzunluk Hesabı

Görseldeki soruda verilen verileri ve geometrik kuralları kullanarak |FL| uzunluğunu adım adım hesaplayalım.

Verilenler:

  • |TA| = 6 birim (T noktasında çembere teğet)
  • |AS| = 12 birim
  • |TS| = 15 birim
  • [AK] açıortaydır.
  • [TP] \cap [AK] = \{L\}

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:

  1. Teğet-Kiriş Açı Özelliği: Bir teğet ile bir kiriş arasındaki açı, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
  2. Açıortay Teoremi: Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarlar oranında böler.
  3. Benzerlik (A.A. Benzerliği): İki üçgenin ikişer açısı eşitse bu üçgenler benzerdir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Teğet ve Kiriş Arasındaki Açı İlişkisini Belirleme
|TA| teğet olduğu için \widehat{ATP} teğet-kiriş açısıdır ve TP yayını görür. Aynı yayı gören çevre açı \widehat{TSP} (veya \widehat{TSA}) açısıdır. Dolayısıyla:
m(\widehat{ATP}) = m(\widehat{TSA}) = \alpha diyelim.

Adım 2 — Üçgende Açıları Yerleştirme ve Benzerliği Görme
TAS üçgeninde ve TAP üçgeninde:

  • \widehat{A} açısı her iki üçgen için ortaktır.
  • m(\widehat{ATP}) = m(\widehat{TSA}) = \alpha
    Bu durumda TAP \sim SAT (A.A. Benzerliği) elde edilir.

Adım 3 — Benzerlik Oranını Kullanarak |AP| ve |TP| Uzunluklarını Bulma
Benzerlik oranını yazalım:
\frac{|AT|}{|AS|} = \frac{|AP|}{|AT|} = \frac{|TP|}{|ST|}
\frac{6}{12} = \frac{|AP|}{6} \Rightarrow 12 \cdot |AP| = 36 \Rightarrow |AP| = 3 birim.
\frac{6}{12} = \frac{|TP|}{15} \Rightarrow 12 \cdot |TP| = 90 \Rightarrow |TP| = 7,5 birim.

Adım 4 — Açıortay Özelliği ile |FL|'ye Geçiş
[AK] açıortay olduğu için TAS üçgeninde T ve S köşelerinden gelen doğruların oranlarını kullanabiliriz. Ancak burada TAP üçgenine odaklanalım. [AL] doğrusu TAP üçgeninde de açıortaydır (çünkü [AK] genel bir açıortay hattıdır).
İç açıortay teoremine göre TAP üçgeninde:
\frac{|TL|}{|LP|} = \frac{|TA|}{|AP|}
\frac{|TL|}{|LP|} = \frac{6}{3} = 2

Bu durumda |TL| = 2k ve |LP| = k dersek; |TP| = 3k olur.

Adım 5 — Son Hesaplama
|TP| = 7,5 birim bulmuştuk.
3k = 7,5 \Rightarrow k = 2,5 birim.
Buradan |TL| = 2k = 5 birim ve |LP| = k = 2,5 birim bulunur.
Soru bizden [FL] uzunluğunu (görselde L noktası [TP] üzerindedir) istemektedir. Şekildeki harflendirmeye göre |TL| veya |LP| kısımları üzerinden gidildiğinde, çözüm bizi TP üzerindeki parçalara götürür.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 2,5 birim (veya oranlamaya göre parça uzunluğu)
(Not: Görseldeki harf dizilimine göre |LP| kastediliyorsa cevap 2,5; |TL| kastediliyorsa 5’tir. İşlem adımları sonucu k=2,5 birimdir.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Teğet-Kiriş Açı

  • Tanım: Bir çembere teğet olan doğru ile teğet noktasından geçen kirişin oluşturduğu açıdır.
  • Bu problemde: A noktasından gelen teğetin oluşturduğu \alpha açısı, benzerliğin anahtarı olmuştur.

2. Üçgen Benzerliği

  • Tanım: Kenarları orantılı ve açıları eşit olan üçgenlerdir.
  • Bu problemde: Küçük üçgen (TAP) ile büyük üçgen (SAT) arasındaki benzerlik, bilinmeyen kenarların bulunmasını sağlamıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış Benzerlik Kurma

  • Yanlış: TA kenarını yanlış kenarla oranlamak.
  • Doğru: Ortak açı ve eşit açının karşısındaki kenarları doğru eşleştirmek (A.A. kuralı).
  • Neden yanlış: Yanlış oranlama |AP| uzunluğunun hatalı çıkmasına sebep olur.

Çözümün herhangi bir adımını veya benzerlik oranının nasıl kurulduğunu daha detaylı incelememi ister misin?