Çemberde Dik Kesişen Kirişler ve Yarıçap Hesaplaması

Üniversite
1

LAEl =l br
Genbep
esi gticlcanc

Soru Görseli
Soru Görseli1024×362 48.6 KB

2

Çemberde Dik Kesişen Kirişler ve Yarıçap Hesaplaması

Görseldeki soruda, bir çember içerisinde E noktasında dik kesişen [AB] ve [CD] kirişleri verilmiştir. Verilen değerler şunlardır:

  • |AE| = 4 \text{ br}
  • |EB| = 3\sqrt{3} \text{ br}
  • |ED| = 3 \text{ br}
  • [AB] \perp [CD]

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:

  1. İç Kuvvet Özelliği: Bir çemberde kesişen iki kirişin parçalarının çarpımı birbirine eşittir:
    |AE| \cdot |EB| = |CE| \cdot |ED|
  2. Dik Kesişen Kirişlerde Yarıçap Formülü: Kirişler dik kesiştiğinde çemberin yarıçapı (R) şu formülle hesaplanabilir:
    4R^2 = |AE|^2 + |EB|^2 + |CE|^2 + |ED|^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — |CE| Uzunluğunu Bulma
İç kuvvet özelliğini kullanarak |CE| uzunluğunu hesaplayalım:
4 \cdot 3\sqrt{3} = |CE| \cdot 3
12\sqrt{3} = 3 \cdot |CE|
|CE| = 4\sqrt{3} \text{ br}

Adım 2 — Yarıçap Formülünü Uygulama
Dik kesişen kirişlerin parçalarının kareleri toplamı, çapın karesine (4R^2) eşittir:
4R^2 = 4^2 + (3\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 + 3^2

Adım 3 — Kareleri Hesaplama ve Toplama
4^2 = 16
(3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27
(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48
3^2 = 9

4R^2 = 16 + 27 + 48 + 9
4R^2 = 100

Adım 4 — R Değerini Yalnız Bırakma
R^2 = \frac{100}{4}
R^2 = 25
R = \sqrt{25} = 5 \text{ br}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: Çemberin yarıçapı 5 \text{ br} olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. İç Kuvvet

  • Tanım: Çember içindeki herhangi bir noktada kesişen kirişlerin ayırdığı parçaların çarpımının sabit olmasıdır.
  • Bu problemde: |CE| uzunluğunu bulmamızı sağlamıştır.

2. Dik Kesişen Kirişler

  • Tanım: Kirişler birbirine dik olduğunda, merkezden kirişlere inilen dikmeler bir dikdörtgen oluşturur.
  • Bu problemde: Pratik yarıçap formülünü (4R^2 = a^2+b^2+c^2+d^2) kullanmamıza olanak tanımıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış Kare Alma

  • Hatalı: (3\sqrt{3})^2 ifadesini 9\sqrt{3} veya 3 \cdot 3 = 9 olarak hesaplamak.
  • Doğru: Hem kat sayının hem de köklü ifadenin karesi alınmalıdır: 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27.

:cross_mark: Çap ve Yarıçap Karıştırma

  • Hatalı: 2R = 10 bulup soruda çap isteniyormuş gibi bırakmak veya 4R^2 yerine R^2 yazmak.
  • Doğru: Formül 4R^2 (yani çapın karesi) sonucunu verir, yarıçap için karekökten sonra ikiye bölme işlemi (veya doğrudan R bulma) doğru yapılmalıdır.

Bu tür çember sorularında merkez koordinatlarını belirleyerek Pisagor teoremi ile de çözüme gidebiliriz. Bu yöntemi de görmek ister misin?