180 cm uzunluğundaki bir telden yarıçapı 12 cm bir çember oluşturulduktan sonra her adımda yarıçap uzunluğu bir önceki adıma göre 2 cm kısalarak yeni çemberler oluşturulacaktır.
Buna göre ilk çemberle beraber oluşturuturulabilecek çember sayısı en fazla kaçtır ?
Sorunuz: 180 cm uzunluğundaki bir telden yarıçapı 12 cm olan bir çember oluşturulduktan sonra, her adımda yarıçap uzunluğu bir önceki adıma göre 2 cm kısalarak yeni çemberler oluşturulmaktadır. Buna göre, ilk çemberle beraber oluşturulabilecek çember sayısı en fazla kaçtır?
Cevap:
Bu soruyu çözmek için problemi adım adım analiz edeceğiz.
Çemberin Uzunluk Formülü
Çemberin çevresi şu formülle hesaplanır:
$
Çevre = 2\pi r
$
Burada:
- r: Yarıçap uzunluğu
- \pi: Pi sayısı (\pi \approx 3.14)
Adım 1: İlk Çemberin Çevresini Hesaplama
İlk çemberin yarıçapı r = 12 cm olduğundan çevresi:
$
Çevre = 2 \cdot \pi \cdot 12 = 24 \pi , cm
$
Eğer \pi \approx 3.14 kabul edilirse:
$
Çevre \approx 24 \cdot 3.14 = 75.36 , cm
$
Bir telin uzunluğu toplam 180 cm olduğundan, tel bu kadar uzun bir çevre oluşturmuş.
Adım 2: Bir Önceki Adımın Yarıçapını Azaltarak Çemberler Oluşturma
Her çember oluşturulduktan sonra telin çevresine göre yeni bir çember oluşturmak için yarıçap 2 cm daha azalır. Yeni yarıçap şu sırada olur:
- İlk çember: r = 12 cm
- İkinci çember: r = 10 cm
- Üçüncü çember: r = 8 cm
- Dördüncü çember: r = 6 cm
- Beşinci çember: r = 4 cm
- Altıncı çember: r = 2 cm
Bir sonraki çemberin oluşabilmesi için tel uzunluğunun çemberin çevresini karşılaması gerekiyor.
Adım 3: Her Çember İçin Çevreyi Hesaplama
Şimdi her bir çemberin çevresini hesaplayıp toplam uzunluğu kontrol ediyoruz:
| Yarıçap (r) | Çember Çevresi (2 \pi r) | Çevre (3.14 ile) |
|---|---|---|
| 12 cm | 2 \cdot \pi \cdot 12 = 24\pi | 75.36 \, cm |
| 10 cm | 2 \cdot \pi \cdot 10 = 20\pi | 62.8 \, cm |
| 8 cm | 2 \cdot \pi \cdot 8 = 16\pi | 50.24 \, cm |
| 6 cm | 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi | 37.68 \, cm |
| 4 cm | 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi | 25.12 \, cm |
| 2 cm | 2 \cdot \pi \cdot 2 = 4\pi | 12.56 \, cm |
Adım 4: Toplam Tel Uzunluğunu Kontrol Etme
Telin toplam uzunluğu 180 cm. Bu tel ile oluşturulabilecek çemberlerin çevreleri sırayla toplanır:
- İlk çember: 75.36 cm
- İkinci çember: 62.8 cm
- Üçüncü çember: 50.24 cm
Toplam:
$
75.36 + 62.8 + 50.24 = 188.4 cm
$
Bu toplam, tel uzunluğu olan 180 cm’yi aşmaktadır. Bu nedenle üçüncü çember oluşturulamaz.
Sonuç
180 cm uzunluğundaki tel ile oluşturulabilecek çember sayısı:
- En fazla 2 çember oluşturulabilir.
Bu çemberler sırasıyla:
- Yarıçapı 12 cm olan çember,
- Yarıçapı 10 cm olan çemberdir.
Özet Tablo:
| Çember Sırası | Yarıçap (r) | Çevre (cm) | Toplam Tel Uzunluğu (cm) |
|---|---|---|---|
| 1. Çember | 12 cm | 75.36 cm | 75.36 cm |
| 2. Çember | 10 cm | 62.8 cm | 138.16 cm |
| 3. Çember | 8 cm | 50.24 cm | 188.4 cm (Yetersiz) |
Tel yeterli olmadığı için üçüncü çember yapılamaz.
Sonuç:
Oluşturulabilecek maksimum çember sayısı: 2
pi sayısını 3 almalısın
Anladım, pi sayısını 3 alarak yeniden hesaplayalım:
Sorunuz Güncelleme ile:
180 cm uzunluğundaki bir telden yarıçapı 12 cm olan bir çember oluşturulduktan sonra, her adımda yarıçap uzunluğu bir önceki adıma göre 2 cm kısalarak yeni çemberler oluşturulmaktadır. Pi \pi = 3 alınarak ilk çemberle beraber oluşturulabilecek çember sayısı en fazla kaçtır?
Çemberin Uzunluk Formülü
Çemberin çevresi:
$
Çevre = 2\pi r
$
Burada \pi = 3 olduğundan, formül şu şekilde sadeleşir:
$
Çevre = 6r
$
Adım 1: İlk Çemberin Çevresini Hesaplama
İlk çemberin yarıçapı r = 12 cm olduğunda çevresi:
$
Çevre = 6 \cdot 12 = 72 , cm
$
Adım 2: Yarıçapı Azaltarak Yeni Çemberler Oluşturma
Her adımda yarıçapı 2 cm azaltarak yeni çemberler yapıyoruz. Yarıçap sırasıyla:
- İlk çember: r = 12 cm
- İkinci çember: r = 10 cm
- Üçüncü çember: r = 8 cm
- Dördüncü çember: r = 6 cm
- Beşinci çember: r = 4 cm
- Altıncı çember: r = 2 cm
Adım 3: Her Çember İçin Çevreleri Hesaplama
\pi = 3 kullanarak her çemberin çevresini hesaplayalım:
| Yarıçap (r) | Çember Çevresi (6r) |
|---|---|
| 12 cm | 6 \cdot 12 = 72 \, cm |
| 10 cm | 6 \cdot 10 = 60 \, cm |
| 8 cm | 6 \cdot 8 = 48 \, cm |
| 6 cm | 6 \cdot 6 = 36 \, cm |
| 4 cm | 6 \cdot 4 = 24 \, cm |
| 2 cm | 6 \cdot 2 = 12 \, cm |
Adım 4: Toplam Tel Uzunluğunu Kontrol Etme
Tel uzunluğu toplam 180 cm. Çemberlerin çevrelerini sırayla toplayarak teli kontrol edelim:
- İlk çember: 72 cm
- İkinci çember: 60 cm
- Üçüncü çember: 48 cm
Toplam:
$
72 + 60 + 48 = 180 , cm
$
Sonuç
Tel uzunluğu tam olarak 3 çember yapmak için yeterlidir.
-
- çember: Yarıçap 12 \, cm, çevresi 72 \, cm
-
- çember: Yarıçap 10 \, cm, çevresi 60 \, cm
-
- çember: Yarıçap 8 \, cm, çevresi 48 \, cm
Özet Tablo
| Çember Sırası | Yarıçap (r) | Çevre (cm) | Toplam Tel Uzunluğu (cm) |
|---|---|---|---|
| 1. Çember | 12 cm | 72 cm | 72 cm |
| 2. Çember | 10 cm | 60 cm | 132 cm |
| 3. Çember | 8 cm | 48 cm | 180 cm |
Sonuç:
Oluşturulabilecek maksimum çember sayısı: 3
180 cm uzunluğundaki bir telden yarıçapı 12 cm bir çember oluşturulduktan sonra her adımda yarıçap uzunluğu bir önceki adıma göre 2 cm kısalarak yeni çemberler oluşturulacaktır. Buna göre ilk çemberle beraber oluşturulabilecek çember sayısı en fazla kaçtır ?
Table of Contents
1. Problem Tanımı
Elimizde 180 cm uzunluğunda bir tel vardır. Bu telden:
- İlk çember: Yarıçapı 12 cm olacak şekilde oluşturulur.
- Sonraki çemberler: Yarıçap her seferinde 2 cm azaltılarak yeni bir çember oluşturulur.
Amaç: İlk çember dahil olmak üzere bu şekilde kaç tane çember oluşturulabileceğini bulmaktır.
2. Temel Bilgiler ve Formül
-
Bir çemberin çevresi:
$
C = 2 \pi r
$
Burada r yarıçap, \pi (pi) ise yaklaşık 3,14 (~3,14159) değerine sahiptir. -
Verilen toplam tel uzunluğu: 180 cm.
-
Her adımda yarıçap:
-
- adım (İlk çember): r_1 = 12 \text{ cm}
-
- adım: r_2 = 10 \text{ cm}
-
- adım: r_3 = 8 \text{ cm}
- ve bu şekilde 2 cm azaltılarak devam eder.
-
Bir adımda gereken tel uzunluğu = 2 \pi r. Telden her çevre uzunluğunu çıkararak bir sonraki çemberi oluşturmak için kalan uzunluğa bakarız. Eğer yeterli tel yoksa o çemberi oluşturamayız.
3. Adım Adım Çözüm
-
İlk Çember (Yarıçap = 12 cm):
- Çevre: 2 \pi \times 12 = 24\pi cm
- Yaklaşık Değer: 24 \times 3,14 \approx 75,398 cm
- Kalan Tel: 180 - 75,398 \approx 104,602 cm
-
İkinci Çember (Yarıçap = 10 cm):
- Çevre: 2 \pi \times 10 = 20\pi cm
- Yaklaşık Değer: 20 \times 3,14 \approx 62,832 cm
- Kalan Tel: 104,602 - 62,832 \approx 41,770 cm
-
Üçüncü Çember (Yarıçap = 8 cm):
- Çevre: 2 \pi \times 8 = 16\pi cm
- Yaklaşık Değer: 16 \times 3,14 \approx 50,265 cm
- Bu uzunluk 41,770 cm kalan tele göre daha büyüktür. Dolayısıyla üçüncü çemberi oluşturmak için yeterli tel kalmamıştır.
Bu hesabımıza göre en fazla 2 çember oluşturabiliriz.
4. Hesaplamalar Tablosu
| Adım | Yarıçap (cm) | Çevre (cm) | Kalan Tel (cm) | Çember Oluşabilir mi? |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 24\pi \approx 75,4 | 180 - 75,4 ≈ 104,6 | Evet |
| 2 | 10 | 20\pi \approx 62,8 | 104,6 - 62,8 ≈ 41,8 | Evet |
| 3 | 8 | 16\pi \approx 50,3 | 41,8 - 50,3 < 0 | Hayır |
Tablodan da görüldüğü gibi 3. adımdaki çember için yeterli uzunluk kalmadığından, toplam oluşturulabilen çember sayısı 2 olmaktadır.
5. Sonuç ve Özet
- Öncelikle 12 cm yarıçaplı çember oluşturulur.
- Sonra 10 cm yarıçaplı çember oluşturulur.
- Sırasıyla 8 cm, 6 cm, vb. yarıçaplarla devam etmek istesek de, 8 cm yarıçaplı çember için yeterli tel kalmaz.
- Dolayısıyla ilk çemberle beraber toplam 2 çember oluşturmak mümkündür.
Cevap: 2
Bu problemde telin uzunluğu sınırlı olduğu için art arda gelen her çemberin çevresi, önceki adıma göre azalır. Ancak hesaplamalar gösteriyor ki üçüncü çembere geçecek kadar tel kalmamaktadır. Böylece 2 çember ile sınırlı kalıyoruz.