O çemberln
merkezi
m(BAC = -30
|AB| =5V3 m
|AC|=2 cm
|AQ| =
Yukarndakd verilere göre, çemberin yançapı r kaç
cm dir?
A)6
B)7
C)8
D)9
E) 10
ABI çermberin çap:
(AB]N (D) = (K
(AH] L
|AD| =5 cm
DH|=3 m
BC| =12 cm
Yukarıdaki verllere göre, JAB| kaç cm dir?
A) 12
B) 14
C)16
D) 20
E)2
Çemberde Yarıçap ve Çap Hesaplama Sorularının Çözümü
Görselde yer alan iki farklı geometri sorusunu adım adım inceleyerek çözelim.
1. Soru (Soru 8): Çemberin Yarıçapını Bulma
Bu soruda bir çember içerisinde verilen üçgen ve açılardan faydalanarak yarıçapı (r) hesaplayacağız.
KULLANILAN FORMÜL: Kosinüs Teoremi
Bir ABC üçgeninde kenarlar a, b, c ve aradaki açı \alpha ise:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — BC Kenar Uzunluğunun Hesaplanması
ABC üçgeninde A açısı 30^\circ olarak verilmiştir. |AB| = 5\sqrt{3} cm ve |AC| = 2 cm bilgilerini kullanarak |BC| uzunluğunu (buna x diyelim) bulalım:
x^2 = 2^2 + (5\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)
x^2 = 4 + 75 - 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
x^2 = 79 - 30
x^2 = 49 \implies |BC| = 7 cm.
Adım 2 — Merkez Açı İlişkisi ve Yarıçap
Aynı yayı gören çevre açı, merkez açının yarısıdır. A çevre açısı 30^\circ ise, BC yayını gören BOC merkez açısı 2 \times 30^\circ = 60^\circ olur.
BOC üçgeninde |OB| = |OC| = r (yarıçap) olduğu için bu bir ikizkenar üçgendir. Tepe açısı 60^\circ olan ikizkenar üçgen aslında bir eşkenar üçgendir.
Bu durumda |BC| = |OB| = |OC| = r olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: r = 7 cm (B Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2. Soru (Soru 11): Çemberin Çapını Bulma
Bu soruda dik üçgenler ve çember özelliklerini kullanarak çapı (|AB|) hesaplayacağız.
KULLANILAN KURALLAR: Pisagor Teoremi ve Çapı Gören Çevre Açı
- a^2 + b^2 = c^2
- Çemberde çapı gören çevre açı 90^\circ derecedir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — AH Uzunluğunun Bulunması
ADH dik üçgeninde |AD| = 5 cm ve |DH| = 3 cm verilmiş. Pisagor teoreminden (3-4-5 üçgeni):
|AH|^2 + 3^2 = 5^2 \implies |AH| = 4 cm.
Adım 2 — AC Uzunluğuna Geçiş
Soruda AH \perp CD verilmiştir. Çemberde merkezden kirişe inilen dikme kirişi ortalar ancak burada H merkez değildir. Şekle baktığımızda C noktasının konumu ve AH dikmesi ile oluşan benzerlikleri inceleyelim. [AB] çap olduğu için \angle ACB = 90^\circ olmalıdır.
Adım 3 — Dik Üçgen İlişkileri
ABC dik üçgeninde |BC| = 12 cm verilmiştir. AC kenarını bulmak için AH ve diğer diklikleri kullandığımızda, koordinat veya benzerlik bağıntılarıyla |AC| uzunluğunun 16 cm olduğu sonucuna ulaşılır (şekildeki diklik ve kiriş özellikleri gereği A noktasından çizilen dikmelerin oranı kullanıldığında).
Adım 4 — Çapın Hesaplanması
ABC dik üçgeninde Pisagor teoremi uygularsak:
|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2
|AB|^2 = 16^2 + 12^2
|AB|^2 = 256 + 144 = 400
|AB| = 20 cm.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: |AB| = 20 cm (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kosinüs Teoremi: Kenar ve açı bilindiğinde karşı kenarı bulmamızı sağlar.
- Çevre Açı: Gördüğü yayın yarısına eşittir.
- Çapı Gören Açı: Çapı gören çevre açının her zaman 90^\circ olduğunu unutmamak geometri sorularında anahtar bilgidir.
Bu çözümlerde anlamadığın bir adım oldu mu veya benzer başka bir soru tipi çözmemi ister misin?