Çember Geometri Sorusu

Homework Help
1

O çemberln
merkezl
m(BA) =30°
|AB|= 5/3 cm
JAC[=2 cm
|AO] =r
Yukandaki verilere göre, çemberin yançapı r kaç
cm dir?
A)6
B)7
C)8
D)9
E) 10

Soru Görseli
Soru Görseli928×800 98.1 KB

2

Çemberde Yarıçap Uzunluğu Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:

Bu soruda Kosinüs Teoremi ve Sinüs Teoremi (veya Çevrel Çember Yarıçapı ilişkisi) kullanılacaktır:

  1. Kosinüs Teoremi: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)
  2. Sinüs Teoremi ve Yarıçap İlişkisi: \frac{a}{\sin(A)} = 2R (Burada R yarıçaptır, soruda r olarak verilmiştir.)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — BC Kenar Uzunluğunun Hesaplanması
ABC üçgeninde A açısı 30^\circ, |AB| = 5\sqrt{3} cm ve |AC| = 2 cm olarak verilmiştir. BC kenarını (a) Kosinüs Teoremi ile bulalım:

|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(30^\circ)
|BC|^2 = (5\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
|BC|^2 = 75 + 4 - 30 = 49
|BC| = 7 \text{ cm}

Adım 2 — Çevrel Çemberin Yarıçapının (r) Hesaplanması
Bir üçgenin köşeleri çember üzerindeyse, bu çember o üçgenin çevrel çemberidir. Sinüs Teoremi kuralına göre bir kenarın, o kenarı gören açının sinüsüne oranı 2r’ye eşittir:

\frac{|BC|}{\sin(30^\circ)} = 2r
\frac{7}{1/2} = 2r
14 = 2r
r = 7 \text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Kosinüs Teoremi

  • Tanım: İki kenarı ve arasındaki açısı bilinen üçgende karşı kenarı bulmamızı sağlar.
  • Bu problemde: BC kenarının uzunluğunu belirlemek için kullanıldı.

2. Çevrel Çember Yarıçapı

  • Tanım: Üçgenin üç köşesinden geçen çemberin yarıçapıdır.
  • Bu problemde: O merkezli çember A, B, C noktalarından geçtiği için |AO|=r değeri Sinüs Teoremi ile hesaplandı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Yanlış Açı Kullanımı

  • Yanlış: Merkez açıyı çevre açıyla karıştırıp doğrudan 30^\circ üzerinden yanlış oran kurmak.
  • Doğru: Çevre açının gördüğü yayın yarısı olduğunu veya Sinüs Teoremindeki 2R ilişkisini kullanmak.
  • Neden yanlış: Geometrik bağıntıları karıştırmak hatalı sonuca götürür.

Bu çözümde uyguladığımız Kosinüs Teoremi adımı karmaşık geldiyse, alternatif olarak C noktasından AB kenarına bir dikme indirerek özel üçgen yardımıyla da çözmemi ister misin?