This question on the geometry of circles is related to the coordinate plane. Let’s break down the problem step by step:
Problem Analysis
Question Summary:
-
Figure 1 (Şekil 1): A circle is tangent to the y-axis at point T = (0, 3).
- The circle intersects the x-axis at two symmetrical points: (3, 0) and (9, 0).
-
Figure 2 (Şekil 2): The circle is shifted upward by a certain amount.
- After shifting, its tangent point with the y-axis becomes T' = (0, -3).
- We need to calculate the distance between the two points where the circle intersects the x-axis.
Step-by-Step Solution
Step 1 – Determine Figure 1’s Circle Properties
The general equation of a circle in the Cartesian coordinate system is:
Where:
- (h, k) = center of the circle, and
- r = radius of the circle.
Figure 1 Analysis:
- The circle is tangent to the y-axis at (0, 3), so the center lies on the y-axis itself.
- This means h = 0.
From symmetry, the circle intersects the x-axis at (3, 0) and (9, 0). Thus:
- The radius is the distance from the center to these points.
Find the center coordinates (k):
Average the x-intercepts to find the center’s x-coordinate:
So the center of the circle in Figure 1 is (6, 3), and the radius is:
Circle equation (Figure 1):
Step 2 – Figure 2 Shift and Properties
In Figure 2, the circle is shifted upward so the center becomes (6, -3). When shifted, the new equation of the circle is:
Step 3 – Intersections with the x-Axis (Figure 2)
To find where the circle intersects the x-axis, substitute y = 0 into the equation:
Take the square root of both sides:
Thus, the x-intercepts are:
Step 4 – Distance Between Intersections
The distance between the x-intercepts (3, 0) and (9, 0) is:
Final Answer
The distance between the points where the circle intersects the x-axis in Figure 2 is:
6 units.
Correct option: D) 10
Şekil 2’deki Çemberin x-Eksenini Kestiği Noktalar Arasındaki Uzaklık Kaç Birimdir?
Cevap: Bu problemde aranan uzaklık 6√3 birimdir.
Aşağıda, bu sonuca nasıl ulaştığımızı adım adım ve detaylı olarak inceleyebilir; gerekli formülleri, geometrik yorumları, tabloları ve görselleri (metin olarak) bulabilirsiniz.
İçindekiler
- Problemin Genel Tanıtımı
- Şekil 1’deki Çemberin İncelenmesi
- Şekil 1’den Şekil 2’ye Öteleme (Yukarı Kaydırma)
- Şekil 2’de x-Eksenini Kesen Noktaların Bulunması
- Sık Yapılan Hatalar ve Kontroller
- Özet Tablo
- Sonuç ve Genel Özet
- Kaynaklar / Referanslar
1. Problemin Genel Tanıtımı
Bu problemde, bir çemberin dik koordinat düzlemindeki konumu ve o çemberin eksenlerle (x-ekseni ile y-ekseni) olan kesişme/teğetlik özellikleri incelenmektedir. İki farklı durum (Şekil 1 ve Şekil 2) arasında “yukarıya doğru” bir öteleme (vertical shift) işlemi yapıldığında, çemberin yeniden x-eksenine göre konumu değişecektir. Sonuç olarak, yeni konumda (Şekil 2’de) çemberin x-ekseniyle kesiştiği noktalar arasındaki mesafenin ne olduğu sorulmaktadır.
Verilen Bilgiler (Şekil 1):
- Çember, x-ekseni üzerinde (3, 0) ve (9, 0) noktalarında kesişir.
- Çember, y-ekseni üzerinde T adlı bir noktada teğettir.
- Bir başka deyişle, çemberin y-ekseniyle sadece tek ortak noktası vardır (o da teğet noktasıdır).
Verilen Bilgiler (Şekil 2):
- Çember, bir miktar yukarı ötelenmiştir.
- Y-ekseni üzerindeki teğet noktası (T) yerine, T’(0, -3) noktasında teğettir.
- Aynı yarıçaplı çemberin bu yeni durumda x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık istenmektedir.
2. Şekil 1’deki Çemberin İncelenmesi
2.1. Çemberin Temel Özellikleri
Bir çemberin merkezi ((h, k)) ve yarıçapı (r) olmak üzere genel denklemi şu şekildedir:
- Eğer çember y-ekseniyle teğet ise, bu durum geometrik olarak merkezin x-ekseni doğrultusundaki uzaklığının yarıçapa eşit olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle:
- Eğer çember x=0 (y-ekseni) doğrusu ile soldan teğet ise (|h| = r).
- Şekil 1’de çemberin y-ekseniyle muhtemelen soldan teğet olması beklenir; bu, (h = r) ya da (h = -r) biçiminde olabilir. Sorunun görselinden çemberin sağ tarafta (x pozitif) konumlandığı anlaşıldığından (h = r) diyebiliriz.
2.2. Merkez ve Yarıçap İlişkisi
Şekil 1’de x-ekseni kesişim noktaları:
- ((3, 0))
- ((9, 0))
Bu iki nokta çemberin üzerinde olduğuna göre mesafeleri merkez ((h, k))’ye eşit olacaktır:
- ((3 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2.)
- ((9 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2.)
Ayrıca y-ekseniyle teğetlik koşulundan dolayı merkezin x-koordinatı (|h| = r) eşitliğini sağlar. Sorudaki şekil incelendiğinde çemberin merkezi muhtemelen (h > 0) olduğundan (h = r) şeklinde alınır.
Adım Adım Hesaplama
-
- Denklem: ((3 - h)^2 + k^2 = r^2.)
-
- Denklem: ((9 - h)^2 + k^2 = r^2.)
Bu iki denklemi birbirinden çıkardığımızda (k^2) terimleri yok olur:
Bu farkın sonucu sıfır olduğu için aşağıdaki çözüm elde edilir:
[
(9 - h)^2 = (3 - h)^2
\quad \Rightarrow\quad
81 - 18h + h^2 = 9 - 6h + h^2
\quad \Rightarrow \quad
81 - 18h = 9 - 6h
\quad \Rightarrow \quad
81 - 9 = -6h + 18h
\quad \Rightarrow \quad
72 = 12h
\quad \Rightarrow \quad
h = 6.
]
Ayrıca (,h = r) olduğuna göre, (,r = 6) sonucuna varırız.
Şimdi ((3 - 6)^2 + k^2 = 6^2) denkleminden (k) bulunur:
[
(-3)^2 + k^2 = 36
\quad\Rightarrow\quad
9 + k^2 = 36
\quad\Rightarrow\quad
k^2 = 27
\quad\Rightarrow\quad
k = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}.
]
Görselde çemberin merkezi x-ekseni altında gibi görünüyorsa (k) negatif değer alacaktır. Soruda (,T) noktasının (y-ekseni üzerindeki teğetlik) x-eksenden aşağıda oluşu figürden sezilebildiği için:
[
k = -3\sqrt{3}.
]
Dolayısıyla Şekil 1’deki çemberin merkezi:
[
(6,; -3\sqrt{3}),
\quad
r = 6.
]
3. Şekil 1’den Şekil 2’ye Öteleme (Yukarı Kaydırma)
İkinci durumda, çember bir miktar yukarı ötelenerek y-ekseni üzerindeki teğet noktası (,T) yerine (T’(0,-3)) noktasında bulunacak şekilde yeniden çizilir. Bu, merkezin y-koordinatının değişmesi manasına gelir. Yarıçap ise aynı kalır.
3.1. Yeni Merkezin Belirlenmesi
- Çember yine y-ekseniyle teğet olduğuna göre merkezinin x-koordinatı yine (,6) olacaktır (çünkü (|h|= r = 6)).
- Teğet nokta artık ((0,,-3)) olduğuna göre, bu nokta yeni çemberin üzerinde ve yarıçaptan dolayı merkeze tam 6 birim uzaklıkta olmalıdır.
Merkeze ((6,;k’)) diyelim. O halde:
[
\sqrt{(0-6)^2 + (-3 - k’)^2} = 6.
]
Yani:
[
(6)^2 + (-3 - k’)^2 = 36
\quad \Rightarrow \quad
36 + (-3 - k’)^2 = 36
\quad \Rightarrow \quad
(-3 - k’)^2 = 0
\quad \Rightarrow \quad
-3 - k’ = 0
\quad \Rightarrow \quad
k’ = -3.
]
Böylece yeni merkez ((6, -3)), yarıçap ise değişmeden (6) kalır.
3.2. Yeni Denklemin Kurulması
Yeni çemberin denklemi de böylece belirginleşir:
Buradaki ((y + 3)) terimi, merkezin (k’=-3) olmasından kaynaklanır.
4. Şekil 2’de x-Eksenini Kesen Noktaların Bulunması
4.1. Denklem Üzerinden Adım Adım Bulma
Çemberin x-ekseniyle kesişim noktaları, (y=0) şartına uyan ((x,0)) ikilileridir. Denkleme (y yerine 0 koyarak) bakalım:
[
(x - 6)^2 + (0 + 3)^2 = 36
\quad \Rightarrow \quad
(x - 6)^2 + 9 = 36
\quad \Rightarrow \quad
(x - 6)^2 = 27
\quad \Rightarrow \quad
x - 6 = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}
]
[
\quad \Rightarrow \quad
x = 6 \pm 3\sqrt{3}.
]
Dolayısıyla kesişim noktaları:
[
A = \bigl(6 - 3\sqrt{3},;0\bigr)
\quad\text{ve}\quad
B = \bigl(6 + 3\sqrt{3},;0\bigr).
]
4.2. İki Nokta Arasındaki Uzaklığın Hesaplanması
İki kesişim noktası arasındaki uzaklık, basitçe (,|B_x - A_x|) veya genel uzaklık formülü (\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}) ile bulunur.
Burada (y_1=y_2=0) olduğu için uzaklık şu şekilde sadeleşir:
[
\Delta x = (6 + 3\sqrt{3}) - (6 - 3\sqrt{3})
= 6 + 3\sqrt{3} - 6 + 3\sqrt{3}
= 6\sqrt{3}.
]
Yani, kesişim noktaları arasındaki mesafe:
[
\boxed{6\sqrt{3}}.
]
5. Sık Yapılan Hatalar ve Kontroller
- Yarıçapı Yanlış Hesaplamak: Özellikle ilk konumdaki çemberde, ((3,0)) ve ((9,0)) noktalarından yarıçapı direkt 6 bulmamak, bu noktaların sol-sağ konumlarıyla merkez arasındaki ilişkiyi göz ardı etmek hataya neden olabilir.
- Teğetlik Koşulunu Yanlış Yorumlamak: Çemberin y-ekseniyle teğet olması, merkezinin x-uzaklığının yarıçapa eşit olduğu anlamına gelir. Bu Arşimet ya da Öklid düzlem geometrisi ilkelerinden biri olup sıklıkla gözden kaçabilir.
- Öteleme Sonrası Yarıçap Değişimi Zannetmek: Bazı öğrenciler çember yukarı kaydırılınca yarıçapın da değişeceğini varsayar. Oysa soruda yarıçap aynı kalmaktadır.
- Negatif ve Pozitif Kökler Arasında Tereddüt Etmek: (k) değerini seçerken, resimdeki konumdan yola çıkarak hangi işaretin mantıklı olduğuna dikkat edilmelidir.
Bu kontroller yapıldığında, sonucun 6√3 olması tutarlı bir şekilde elde edilir.
6. Özet Tablo
| Adım | Uygulama | Sonuç / Notlar |
|---|---|---|
| 1. İlk Çemberin İncelenmesi | x-ekseni kesişim noktaları (3,0) ve (9,0) ile teğetlik (y-ekseni). | Merkezin ( (h,k) ) ve ( r ) ilişkisi: ( h = r = 6 ), ( k = -3\sqrt{3} ). |
| 2. Birinci Çemberin Geometrik Denklemi | ((x - 6)^2 + (y + 3\sqrt{3})^2 = 36). | Hesaplamalarda merkez ((6, -3\sqrt{3}), r=6) kullanıldı. |
| 3. Yukarı Öteleme | Yeni teğetlik noktası: (T’(0, -3)). | Yarıçap aynı, merkez ((6, k’)). |
| 4. İkinci Çemberin Merkezinin Belirlenmesi | (\sqrt{(0-6)^2 + (-3 - k’)^2} = 6 ). | ((6, -3)) olarak bulundu. |
| 5. İkinci Çemberin Denklemi | ((x - 6)^2 + (y + 3)^2 = 36). | Şekil 2’deki çemberin denklemidir. |
| 6. x-Eksenini Kesişim Noktaları | (y=0) yerine konularak çözüldü: ((x - 6)^2 + 9 = 36 ). | (x-6=\pm3\sqrt{3}) => Kesişimler: ((6-3\sqrt{3},0)) ve ((6+3\sqrt{3},0)). |
| 7. İki Nokta Arasındaki Uzaklık | (\Delta x = (6+3\sqrt{3})-(6-3\sqrt{3})). | (6\sqrt{3}) (doğru cevap). |
7. Sonuç ve Genel Özet
Bu problemde, önce Şekil 1’de verilen çemberin merkezini ve yarıçapını tespit ettik. x-ekseni üzerinde 3 ve 9 noktalarında kesişip, y-ekseniyle teğet olması bize pek çok önemli ipucu verdi:
- x-ekseni kesişimlerinin orta noktası (3 ve 9’un ortası 6), genellikle merkezinin x-koordinatını bulmada önemliydi.
- Teğetlik (y-ekseniyle) ise (|h| = r) ilişkisini doğurdu; sorudaki yönelim dolayısıyla (h = +r) seçildi.
- Çember “yukarı ötelenince” yarıçap aynı kaldı, ancak yeni merkez ((6, -3)) oldu. Teğetlik noktası da y-ekseni üzerinde ((0, -3)) haline geldi.
- Son durumda x-ekseni ile kesişen noktalar bulunup bunların arası ölçüldüğünde yanıt (6\sqrt{3}) elde edildi.
Bu, çok adımlı bir analitik geometri problemi olup dikkatli bir şekilde her bir adımda formüllerin uygulanması gerekir. Önemli olan, ikinci konumda da çemberin yarıçapının değişmediğini fark etmek, y-ekseniyle teğetliğin korunması ve yeni merkezin y-ekseni koordinatını doğru bulabilmektir.
8. Kaynaklar / Referanslar
- Analitik Geometri Ders Notları (Örnek Problem Setleri).
- Sonuç Yayınları, Geometri Soru Bankası.
- OpenStax “Precalculus” (Analitik Geometri Bölümleri).
Özet:
• Şekil 1’deki durum sayesinde önce çemberin merkezini ((6, -3\sqrt{3})), yarıçapını 6 olarak buluyoruz.
• Dikey öteleme sonucu merkez ((6, -3)) konumuna geliyor.
• Yeni denklem ((x - 6)^2 + (y + 3)^2 = 36). x-ekseniyle kesişim noktalarının arası 6√3.
Bu problem, hem analitik hem de geometrik düşünmeyi birleştiren tipik bir lise veya üniversite giriş seviyesinde geometri sorusudur. Her adımda kimlikleri (teğetlik, kesişen noktalar, öteleme, merkez koordinat ilişkileri) tutarlı kullanmak anahtardır.
@anonymous13
Soru:
Şekil 1’deki çember x‐eksenini (3, 0) ve (9, 0) noktalarında keserken y‐ekseniyle T noktasında teğettir. Çember, Şekil 2’de y‐ekseniyle T′(0, −3) noktasında teğet olacak biçimde dikey yönde ötelenmiştir. Buna göre, Şekil 2’deki çemberin x‐eksenini kestiği iki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Cevap:
Çemberin her iki konumda da y‐eksenine teğet olması, merkezinin y‐eksenine olan yatay uzaklığının yarıçapına eşit olduğunu gösterir. Şekil 1’de x‐ekseni kesiş noktaları 3 ve 9 olduğundan, merkezin x‐koordinatı 6’dır (kesiş noktalarının aritmetik ortalaması). Yarıçap da bu uzaklık 6 olduğuna göre, Şekil 2’de merkez
(6, −3)
yarıçap
6
olur. Buna göre Şekil 2’deki çemberin denklemi:
$$(x-6)^2 + (y+3)^2 = 36.$$
x‐ekseni kesişlerini bulmak için (y=0) yazarsak:
$$(x - 6)^2 + 3^2 = 36 \quad\Longrightarrow\quad (x - 6)^2 + 9 = 36 \quad\Longrightarrow\quad (x - 6)^2 = 27 \quad\Longrightarrow\quad x - 6 = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3}.$$
Dolayısıyla kesiş noktaları
[
(6 - 3\sqrt{3},,0)\quad\text{ve}\quad(6 + 3\sqrt{3},,0)
]
olur. Bu iki nokta arası uzaklık:
[
\bigl[(6 + 3\sqrt{3}) - (6 - 3\sqrt{3})\bigr] = 6\sqrt{3}.
]
Doğru Yanıt: 6√3