Çatı katındaki odasının ikizkenar dik üçgen biçimli duvarının olduğu kısma önden görünümü dikdörtgen olan bir dolap almak isteyen Elif, bilgisayarında duvarın şekli ile almak istediği dolabı çizmiş ve bazı ölçümleri yapmıştır. Ardından dolabın kenarlarını aynı oranda büyüterek Şekil 2’deki görüntüyü oluşturmuştur.
Şekil 2’deki dolabı almaya karar veren Elif’in alacağı dolabın kenarları ilk duruma göre hangi oranda büyümüştür?
A) \frac{3}{2}
B) \frac{4}{3}
C) \frac{3}{4}
D) \frac{2}{3}
E) \frac{1}{2}
İkizkenar Dik Üçgende Dikdörtgen Dolabın Büyütülme Oranı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İkizkenar dik üçgende dar açılar 45^\circ - 45^\circ olduğundan eğim açısı 45^\circ’dir ve hipotenüs üzerindeki her nokta için yatay uzaklık düşey yüksekliğe eşittir (y = x).
- Benzerlik oranı (k): Yeni boyutların ilk durumdaki boyutlara oranıdır:w_2 = k \cdot w_1, \quad h_2 = k \cdot h_1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Şekil 1’den Duvarın Boyutlarını Belirleme
Şekil 1’deki ikizkenar dik üçgenin sol alt köşesini koordinat düzleminin başlangıç noktası (0,0) kabul edelim.
- Dolabın sol üst köşesi hipotenüs çizgisi üzerindedir. Sol köşe açısı 45^\circ olduğundan, dolabın yüksekliği ile sol tarafında kalan zemin boşluğu birbirine eşittir.
- Dolabın yüksekliği h_1 = 100\text{ cm} olduğundan, solundaki boşluk da 100\text{ cm}'dir.
- Dolabın genişliği w_1 = 60\text{ cm} ve sağında kalan boşluk 80\text{ cm} olarak verilmiştir.
- Duvarın toplam taban uzunluğu:\text{Taban} = 100\text{ cm} + 60\text{ cm} + 80\text{ cm} = 240\text{ cm}
- İkizkenar dik üçgen olduğundan duvarın dikey yüksekliği de 240\text{ cm}'dir.
Adım 2 — Şekil 2’deki Yeni Dolap Konumunu İnceleme
Dolabın kenarları aynı k oranında büyütülmüştür:
- Yeni genişlik: w_2 = 60k
- Yeni yükseklik: h_2 = 100k
Şekil 2’de dolap sağdaki dikey duvara tamamen yaslanmıştır. Dolayısıyla dolabın sol kenarının dikey duvardan uzaklığı dolabın genişliği (60k) kadardır.
- Dolabın sol alt köşesinin sol başlangıç noktasına olan uzaklığı:x = 240 - 60k
- Dolabın sol üst köşesi hipotenüs üzerinde olduğundan yüksekliği yatay mesafesine eşit olmalıdır (h_2 = x):100k = 240 - 60k
Adım 3 — Büyütme Oranını (k) Hesaplama
Elde edilen denklemi çözelim:
100k + 60k = 240
160k = 240
k = \frac{240}{160} = \frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) \dfrac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- 45^\circ-45^\circ-90^\circ Üçgeni: Dik kenarları birbirine eşit olan ikizkenar dik üçgendir. Eğim 1 olduğu için yatay ve dikey yer değiştirmeler daima birbirine eşittir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Büyütme oranını sadece tabandaki veya yükseklikteki farkları oranlayarak bulmaya çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Dolabın her iki kenarının da aynı k çarpanıyla (60k ve 100k) genişlediğini dikkate alıp hipotenüs üzerindeki temas noktasını denklemde kullanmak.
Benzer bir geometri sorusunda dolabın alanındaki artış oranını birlikte hesaplamak ister misin?