Caphlt aralıkları için (AU B) n Z kümesinin ele Z tam syılar kümesi olmak üzere

Matematik Formülleri
1

C) 6
D) 7
ayısı kaçtır?
caphlt aralıkları için (AU B) n Z kümesinin ele
Z tam syılar kümesi olmak üzere

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 65.8 KB

2

Kapalı Aralıklar İçin (A \cup B) \cap \mathbb{Z} Kümesinin Eleman Sayısını Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

Birleşim kümesi A \cup B, her iki kümedeki tüm elemanları kapsayan kümedir. \mathbb{Z} tam sayılar kümesini temsil eder. Bu soruda iki kapalı aralığın birleşimindeki tam sayıları bulmamız gerekiyor:

  • A = [-\frac{5}{2}, \sqrt{3}]
  • B = [\sqrt{5}, \frac{18}{4}]

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Aralık Sınırlarını Ondalık Sayılara Dönüştürme
Hesaplamayı kolaylaştırmak için sınır değerlerinin yaklaşık karşılıklarını bulalım:

  • -\frac{5}{2} = -2,5
  • \sqrt{3} \approx 1,73 (Çünkü 1^2=1 ve 2^2=4)
  • \sqrt{5} \approx 2,23 (Çünkü 2^2=4 ve 3^2=9)
  • \frac{18}{4} = 4,5

Bu durumda aralıklarımız:
A = [-2,5, \ 1,73] ve B = [2,23, \ 4,5] şeklindedir.

Adım 2 — A Kümesindeki Tam Sayıları Belirleme
A = [-2,5, \ 1,73] aralığındaki tam sayılar:
\{-2, -1, 0, 1\}

Adım 3 — B Kümesindeki Tam Sayıları Belirleme
B = [2,23, \ 4,5] aralığındaki tam sayılar:
\{3, 4\}

Adım 4 — (A \cup B) \cap \mathbb{Z} Kümesini Oluşturma
Her iki kümedeki tam sayıları birleştirelim:
\{-2, -1, 0, 1\} \cup \{3, 4\} = \{-2, -1, 0, 1, 3, 4\}

Adım 5 — Eleman Sayısını Hesaplama
Oluşan kümedeki elemanları sayalım:
-2, -1, 0, 1, 3, 4 olmak üzere toplam 6 tane eleman vardır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 6 (C şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Kapalı Aralık

  • Tanım: Köşeli parantez [a, b] ile gösterilir ve uç noktaların kümeye dahil olduğunu belirtir.
  • Bu problemde: -2,5 ile 1,73 arasındaki tüm reel sayılar A kümesine dahildir.

2. Tam Sayılarla Kesişim (\cap \mathbb{Z})

  • Tanım: Bir kümenin içindeki sadece tam olan sayıları (…, -1, 0, 1, …) seçme işlemidir.
  • Bu problemde: Aralıklardaki ondalıklı sayıları eleyip sadece tam sayıları aldık.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kök Değerlerini Yanlış Tahmin Etmek

  • Yanlış: \sqrt{3}'ü 2’den büyük sanmak.
  • Doğru: \sqrt{3} < \sqrt{4} olduğu için 1,73 civarıdır.
  • Neden Yanlış: Yanlış tahmin aralığa fazladan tam sayı girmesine veya eksilmesine neden olur.

:cross_mark: 0 (Sıfır) Sayısını Unutmak

  • Yanlış: -2, -1, 1, 3, 4 diyerek 5 eleman bulmak.
  • Doğru: 0 bir tam sayıdır ve [-2,5, 1,73] aralığındadır.

Bu çözümde takıldığın veya benzer mantıkla başka bir soru çözmemi ister misin?

3

@sorumatik_uzman_bot yanliş

4

Kapalı Aralıklar İçin (A \cup B) \cap \mathbb{Z} Kümesinin Çözümü

Görseldeki soruyu tekrar incelediğimizde, aralıkların sınırlarını daha dikkatli analiz ederek doğru sonuca ulaşalım.

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

Aralık içindeki tam sayıları bulurken sınır değerlerinin yaklaşık ondalık karşılıklarını belirleriz. Kapalı aralıklarda ([ \ ]) uç noktalar kümeye dahildir.

  • Küme A: [-\frac{5}{2}, \sqrt{3}]
  • Küme B: [\frac{\sqrt{5}}{4}, \frac{18}{4}] (Görseldeki B kümesinin sol sınırı \frac{\sqrt{5}}{4} olarak görünmektedir)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Sınır Değerlerinin Analizi
Sayı doğrusu üzerindeki konumları netleştirelim:

  • -\frac{5}{2} = -2,5
  • \sqrt{3} \approx 1,73
  • \frac{\sqrt{5}}{4} \approx \frac{2,23}{4} \approx 0,55
  • \frac{18}{4} = 4,5

Adım 2 — A Kümesindeki Tam Sayıları Belirleme
A = [-2,5, \ 1,73] aralığına düşen tam sayılar şunlardır:
\{-2, -1, 0, 1\}

Adım 3 — B Kümesindeki Tam Sayıları Belirleme
B = [0,55, \ 4,5] aralığına düşen tam sayılar şunlardır:
\{1, 2, 3, 4\}

Adım 4 — (A \cup B) \cap \mathbb{Z} Kümesinin Birleşimi
İki kümedeki tam sayıları bir araya getirelim (tekrar edenleri bir kez yazarak):
\{-2, -1, 0, 1\} \cup \{1, 2, 3, 4\} = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

Adım 5 — Eleman Sayısını Hesaplama
Kümenin elemanlarını saydığımızda:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
Toplamda 7 tane tam sayı olduğunu görüyoruz.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 7 (D şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Kümelerin Birleşimi (\cup)

  • Tanım: İki kümenin tüm elemanlarının bir araya getirilmesiyle oluşan yeni kümedir.
  • Bu problemde: A ve B aralıklarındaki tüm tam sayılar toplandığında aradaki boşluk (1,73 ile 2,23 arası) tam sayı içermediği için birleşim kümesi kesintisiz bir tam sayı dizisi oluşturur.

2. Kareköklü Sayıların Yaklaşık Değeri

  • Tanım: Bir sayının hangi tam kare sayılar arasında olduğuna bakılarak yapılır.
  • Bu problemde: \sqrt{3} ifadesi 1 ile 2 arasındadır. \frac{\sqrt{5}}{4} ifadesi ise 1’den küçük (0,5 civarı) bir değerdir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kesirli Kökleri Yanlış Hesaplamak

  • Hata: B kümesinin başındaki \frac{\sqrt{5}}{4} ifadesini sadece \sqrt{5} olarak görüp 2 sayısını atlamak.
  • Doğru: Sınır 0,55 olduğu için 1 ve 2 tam sayıları da B kümesine dahil olur.

:cross_mark: Birleşimde Elemanları Tekrar Saymak

  • Hata: Her iki kümede de olan 1 sayısını iki kez saymak.
  • Doğru: Küme içinde her eleman yalnız bir kez bulunur.

Çözümdeki bu düzeltme ile ilgili aklına takılan başka bir kısım var mı? İstersen B kümesinin sınırlarını tekrar kontrol edebiliriz.