!IMG-20260110-WA0005|690x313 [Link Silindi]
Caner’in Bahşiş Alma İhtimalinin Hesaplanması
Önemli Noktalar
- Çocuklu ailelerden bahşiş alma ihtimali 1/2 ve bahşiş miktarı 5 euro
- Çocuksuz ailelerden bahşiş alma ihtimali 1/3 ve bahşiş miktarı 2 euro
- Saplardan bahşiş alma ihtimali 1/5 ve bahşiş miktarı 2 euro
- Caner’in botunda 1 çocuklu, 2 çocuksuz aile ve 2 sap bulunuyor
- Amaç: Caner’in 9 euro bahşiş alma ihtimalini hesaplamak
Caner’in 9 euro bahşiş alma ihtimalini bulmak için, olasılıkların ve bahşiş miktarlarının kombinasyonlarını kullanarak hesaplama yapmamız gerekiyor.
İçindekiler
- Bahşiş Alınan Olayların İhtimalleri ve Bahşiş Miktarları
- Toplam 9 Euro Bahşiş Alma İhtimalinin Hesaplanması
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Bahşiş Alınan Olayların İhtimalleri ve Bahşiş Miktarları
| Müşteri Tipi | Bahşiş Alma İhtimali | Bahşiş Miktarı | Botta Sayısı |
|---|---|---|---|
| Çocuklu aile | 1/2 | 5 euro | 1 |
| Çocuksuz aile | 1/3 | 2 euro | 2 |
| Sap | 1/5 | 2 euro | 2 |
Pro Tip: Bahşiş alma olayı her müşteri için bağımsız kabul edilir.
Toplam 9 Euro Bahşiş Alma İhtimalinin Hesaplanması
Adım 1: Bahşişlerin toplam 9 euro olması için olası kombinasyonları bulalım
- 1 çocuklu aileden 5 euro almalı (çocuklu aile miktarı 1 olduğundan 5 euro alınıp alınmaması seçilir)
- Çocuksuz ailelerde ve saplarda 2 euro’luk bahşişler var, toplam kalan 4 euroyu bu gruplardan almalı
Adım 2: İhtimalleri hesaplama
- Çocuklu aileden bahşiş alma ihtimali: 1/2
- Çocuksuz ailelerden bahşiş alma olasılığı: Her aileden 1/3 ve yoksa 2/3
- Saplardan bahşiş alma olasılığı: Her sap için 1/5 ve yoksa 4/5
Adım 3: Kombinasyonları yazalım
- 1 çocuklu aile bahşiş verdi (5 euro): ihtimal = 1/2
- 2 çocuksuz aile ve 2 sap toplam 4 euro vermeli. Bahşişler 2 euro olduğuna göre birkaç olasılık var:
| Çocuksuz Aile Bahşiş | Sap Bahşiş | Toplam (euro) |
|---|---|---|
| 0 (her ikisi vermedi) | 2 (iki sap verdi) | 4 |
| 1 (bir çocuksuz aile verdi) | 1 (bir sap verdi) | 4 |
| 2 (iki çocuksuz aile verdi) | 0 (hiç sap vermedi) | 4 |
Olasılıkları hesaplama:
-
Durum 1: 0 çocuksuz aile × 2 sap
- Çocuksuz aile vermiyor: (2/3)² = 4/9
- Sap veriyor: (1/5)² = 1/25
- Toplam: 4/9 * 1/25 = 4/225
-
Durum 2: 1 çocuksuz aile × 1 sap
- Çocuksuz ailelerden biri veriyor, biri vermiyor: C(2,1) * (1/3)(2/3) = 2 * (1/3)(2/3) = 4/9
- Saplardan biri veriyor, biri vermiyor: C(2,1) * (1/5)(4/5) = 2 * (1/5)(4/5) = 8/25
- Toplam: (4/9)*(8/25) = 32/225
-
Durum 3: 2 çocuksuz aile × 0 sap
- Çocuksuz aileler veriyor: (1/3)² = 1/9
- Saplar vermiyor: (4/5)² =16/25
- Toplam: 1/9 * 16/25 = 16/225
Adım 4: Toplam ihtimal
Caner’in 9 euro bahşiş alma ihtimali =
İhtimal(çocuklu aile verdi) × (Durum1 + Durum2 + Durum3)
= (1/2) × (4/225 + 32/225 + 16/225)
= (1/2) × (52/225)
= 52/450
= 26/225 ≈ 0.1156
Özet Tablo
| Aşama | Hesaplama | İhtimal |
|---|---|---|
| Çocuklu aile verdi | 1/2 | 0.5 |
| Durum 1: 0 çocuksuz, 2 sap | 4/9 × 1/25 | 0.0178 |
| Durum 2: 1 çocuksuz, 1 sap | 4/9 × 8/25 | 0.1422 |
| Durum 3: 2 çocuksuz, 0 sap | 1/9 × 16/25 | 0.0711 |
| Durum 1+2+3 | - | 0.2311 |
| Toplam | (1/2) × 0.2311 | 0.1156 |
Sık Sorulan Sorular
1. Bahşiş alma olayları neden bağımsız kabul edilir?
Bahşiş alma kararları farklı ailelerin veya sapların ayrı ayrı davranışlarıdır ve birbirini doğrudan etkilemez. Bu nedenle olasılıklar çarpılarak hesaplanır.
2. Bahşiş miktarları neden toplamda 9 euroya eşit olmalı?
Soru Caner’in toplamda 9 euro bahşiş aldığı durumun olasılığını sorduğu için, sadece 9 euro eden kombinasyonlar değerlendirilir.
3. Farklı bahşiş miktarları olsaydı hesaplama değişir miydi?
Evet, bahşiş miktarları toplamı etkiler, ihtimaller ve kombinasyonlar farklı olur, buna göre hesaplama yapılır.
Sonraki Adımlar
Bahşiş olasılıklarının farklı toplamlar için nasıl hesaplandığını öğrenmek ister misiniz? Ya da daha karmaşık kombinasyon problemleri üzerine örnek çözüm istiyor musunuz?
Caner’in botunda 1 çocuklu, 2 çocuksuz aile ve 2 sap olduğuna göre Caner’in 9 euro bahşiş alma ihtimali nedir?
- Her müşteri bağımsız bir Bernoulli deneyi olarak modellenir.
- Çocuklu aileden bahşiş alma ihtimali p_1=\tfrac12, miktarı €5.
- Çocuksuz aileden bahşiş alma ihtimali p_2=\tfrac13, miktarı €2; sapdan bahşiş alma ihtimali p_3=\tfrac15, miktarı €2.
- 9 € elde etmek için mutlaka çocuklu aileden €5, diğer dört müşteriden ise toplam €4 (iki başarı × €2) gelmelidir.
Caner’in 9 euro bahşiş alma ihtimali $,\displaystyle \frac{26}{225},$’tir.
İçindekiler
Analiz
- Toplam 5 müşteri var:
- 1 çocuklu aile (başarıda €5),
- 2 çocuksuz aile (başarıda €2),
- 2 sap (başarıda €2).
- 9 € elde etmek için:
- Çocuklu aile mutlak başarı sağlamalı (5 €),
- Geriye kalan 4 müşteriden tam 2’si başarılı olmalı (2\times2=4 €).
- Çocuklu aile başarı ihtimali p_1=\tfrac12, diğer ailelerin ve sapların başarı ihtimalleri sırasıyla p_2=\tfrac13, p_3=\tfrac15.
Olasılık Hesabı
- P(\text{çocuklu aile} = \text{başarı}) = p_1 = \tfrac12.
- Geri kalan 4 müşteriden tam 2’sinin başarılı olma olasılığı:
P(\text{4 müşteriden 2 başarı})
= \sum_{k=0}^2 \bigl[\text{kombinasyon ve }p_i\text{’ler}\bigr]
Detaylı dağılım:
- 2 çocuksuz aile → P=\bigl(\tfrac13\bigr)^2\bigl(\tfrac45\bigr)^2 = \tfrac{16}{225}
- 1 çocuksuz + 1 sap → 4\;\text{yol}\times\bigl(\tfrac13\cdot\tfrac15\cdot\tfrac23\cdot\tfrac45\bigr)=\tfrac{32}{225}
- 2 sap → \bigl(\tfrac15\bigr)^2\bigl(\tfrac23\bigr)^2 = \tfrac{4}{225}
Toplam: \tfrac{16+32+4}{225} = \tfrac{52}{225}.
- Birlikte:
P = \underbrace{\tfrac12}_{\text{çocuklu aile}} \times \underbrace{\tfrac{52}{225}}_{\substack{\text{diğer 4’ten}\\\text{2 başarı}}}
= \tfrac{52}{450}
= \tfrac{26}{225}.
Karşılaştırma Tablosu
| Müşteri Tipi | Bahşiş Alma İhtimali | Bahşiş Miktarı |
|---|---|---|
| Çocuklu aile | 1/2 | €5 |
| Çocuksuz aile | 1/3 | €2 |
| Sap | 1/5 | €2 |
Özet Tablosu
| Tip | Adet | p değeri | Başarıda € |
|---|---|---|---|
| Çocuklu aile | 1 | 1/2 | 5 |
| Çocuksuz aile | 2 | 1/3 | 2 |
| Sap | 2 | 1/5 | 2 |
| Toplam Olasılık | 26/225 |
SSS
S1. Neden çocuklu aile mutlaka tip vermeli?
Çünkü diğer kaynaklardan yalnızca çift €2’lik artışlar gelebilir; 9, tek sayı olması nedeniyle €5’lik katkı şart.
S2. 4 müşteriden tam 2’sinin başarılı olma formülü nedir?
Bağımsız denemelerde P(\text{2 başarı})=\sum_{|S|=2}\prod_{i\in S}p_i\prod_{i\notin S}(1-p_i).
S3. Alternatif toplam bahşiş miktarları nelerdir?
€0, €2, €4, €5, €7, €9, €11… Gibi çeşitli kombinasyonlar mümkündür.
9 euro yerine 7 € bahşiş alma ihtimalini de hesaplamamı ister misiniz?
@Yasin_Tatar