Can, 20 günlük bisiklet kullanma planına ilk gün 20 dakika ile başlamıştır. Bir süre boyunca her gün bir önceki günden 2 dakika fazla bisiklet sürmüş, daha sonra planın sonuna kadar her gün bir önceki günden 1 dakika az sürmüştür.
20 Günlük Süre Değişimi
Can’ın 20 günlük toplam bisiklet süresi 546 dakika olduğuna göre süreyi azaltmaya başlamadan önce ulaştığı en yüksek süre planın kaçıncı günündedir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Bisiklet Süresi Planlama Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Aritmetik Dizi Terim Formülü:a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r
- Aritmetik Dizi Toplam Formülü:S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Artış Döneminin İncelenmesi (1 \le n \le k)
Planın ilk gününden en yüksek süreye ulaşılan k. güne kadar süreler her gün 2 dakika artmaktadır (r_1 = +2).
- 1. gün: a_1 = 20\text{ dk}
- k. gün (en yüksek süre):a_k = 20 + (k - 1) \cdot 2 = 2k + 18
Bu ilk k günün toplam süresi (S_1):
S_1 = \frac{k}{2} \cdot (a_1 + a_k) = \frac{k}{2} \cdot (20 + 2k + 18) = \frac{k}{2} \cdot (2k + 38) = k^2 + 19k
Adım 2 — Azalış Döneminin İncelenmesi (k+1 \le n \le 20)
k. günden sonra süreler her gün 1 dakika azalmaktadır (r_2 = -1). Bu dönemde toplam 20 - k gün vardır.
- (k+1). gün süresi:a_{k+1} = a_k - 1 = 2k + 17
- 20. gün süresi:a_{20} = a_k - (20 - k) = (2k + 18) - 20 + k = 3k - 2
Bu (20 - k) günün toplam süresi (S_2):
S_2 = \frac{20 - k}{2} \cdot (a_{k+1} + a_{20}) = \frac{20 - k}{2} \cdot (2k + 17 + 3k - 2) = \frac{20 - k}{2} \cdot (5k + 15)
S_2 = \frac{5(20 - k)(k + 3)}{2} = \frac{5(-k^2 + 17k + 60)}{2}
Adım 3 — Toplam Süre Denkleminin Kurulması ve Çözümü
20 günlük toplam süre 546 dakika olarak verilmiştir:
S_1 + S_2 = 546
k^2 + 19k + \frac{5(-k^2 + 17k + 60)}{2} = 546
Her iki tarafı 2 ile çarpalım:
2k^2 + 38k - 5k^2 + 85k + 300 = 1092
-3k^2 + 123k + 300 = 1092
-3k^2 + 123k - 792 = 0
Tüm terimleri -3’e bölelim:
k^2 - 41k + 264 = 0
Çarpanlarına ayıralım:
(k - 8)(k - 33) = 0
Toplam plan 20 gün olduğundan k < 20 olmalıdır. Buradan:
k = 8
(Sağlama: k = 8 için a_8 = 34\text{ dk}, 12. günde süre 34 - 4 = 30\text{ dk} olur ve grafikteki 12. gün değeriyle tam örtüşür).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aritmetik Dizi: Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan dizilerdir. İki parçalı doğrusal fonksiyon/dizi problemlerinde tepe noktası ortak terim olarak ele alınır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Azalış evresini hesaplarken k. günü iki defa toplama dahil etmek veya gün farkını (20 - k) yerine (20 - k + 1) almak.- Doğru Yaklaşım: İlk aralığı 1’den k’ye, ikinci aralığı (k+1)'den 20’ye kadar ayrı ayrı ve kesişimsiz olarak toplamak.
Bu tarz parçalı aritmetik dizi sorularını pekiştirmek için benzer bir soru çözmek ister misin?