Yer Döşemesi Boyama Maliyeti Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Üçgenin Alanı: \text{Alan} = \dfrac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
- Toplam Boyama Maliyeti: \text{Toplam Maliyet} = \text{Alan} \times \text{Birim Alan Maliyeti}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Ön Bilgi: Alanların Hesaplanması
Üçgenlerin yükseklikleri (h) dikdörtgenin kısa kenarına eşit olup hepsinde aynıdır. Taban uzunlukları soldan sağa 3, 2, 1 sayıları ile orantılı olduğundan tabanları 3x, 2x ve x olarak alabiliriz:
- 1. Üçgenin (Sol) Alanı: A_1 = \dfrac{3x \cdot h}{2} = 3A
- 2. Üçgenin (Orta) Alanı: A_2 = \dfrac{2x \cdot h}{2} = 2A
- 3. Üçgenin (Sağ) Alanı: A_3 = \dfrac{x \cdot h}{2} = A
1. Soru: Birim Maliyetlerin Küçükten Büyüğe Sıralanması
Adım 1 — Maliyet Eşitliğinin Kurulması
Görsel 1’de:
- Yeşil bölgenin alanı: 3A
- Mavi bölgenin alanı: 2A
- Kırmızı bölgenin alanı: A
Her bir rengin toplam maliyeti birbirine eşit (M) olarak verilmiştir:
3A \cdot b_{\text{yeşil}} = 2A \cdot b_{\text{mavi}} = A \cdot b_{\text{kırmızı}} = M
Buradan birim maliyetler (b) çekilirse:
b_{\text{yeşil}} = \frac{M}{3A}, \quad b_{\text{mavi}} = \frac{M}{2A}, \quad b_{\text{kırmızı}} = \frac{M}{A}
Paylar eşit olduğunda, paydası büyük olan kesir en küçüktür:
b_{\text{yeşil}} < b_{\text{mavi}} < b_{\text{kırmızı}}
2. Soru: Görsel 2’deki Boyama Maliyeti
Adım 1 — Her Rengin Birim Maliyet Değerinin Bulunması
Görsel 1’de toplam boyama maliyeti 1800\text{ TL} ve üç rengin maliyetleri birbirine eşit olduğundan:
M_{\text{yeşil}} = M_{\text{mavi}} = M_{\text{kırmızı}} = \frac{1800\text{ TL}}{3} = 600\text{ TL}
Buna göre A başına düşen maliyet katsayıları:
- 3A \cdot b_{\text{yeşil}} = 600\text{ TL} \implies A \cdot b_{\text{yeşil}} = 200\text{ TL}
- 2A \cdot b_{\text{mavi}} = 600\text{ TL} \implies A \cdot b_{\text{mavi}} = 300\text{ TL}
- A \cdot b_{\text{kırmızı}} = 600\text{ TL} \implies A \cdot b_{\text{kırmızı}} = 600\text{ TL}
Adım 2 — Görsel 2’deki Maliyetin Hesaplanması
Görsel 2’deki renklendirmeye göre:
- Sol Üçgen (3A alan): Mavi renkle boyanmıştır.
\text{Maliyet}_{\text{Sol}} = 3 \times (A \cdot b_{\text{mavi}}) = 3 \times 300\text{ TL} = 900\text{ TL}
- Orta Üçgen (2A alan): Kırmızı renkle boyanmıştır.
\text{Maliyet}_{\text{Orta}} = 2 \times (A \cdot b_{\text{kırmızı}}) = 2 \times 600\text{ TL} = 1200\text{ TL}
- Sağ Üçgen (A alan): Yeşil renkle boyanmıştır.
\text{Maliyet}_{\text{Sağ}} = 1 \times (A \cdot b_{\text{yeşil}}) = 1 \times 200\text{ TL} = 200\text{ TL}
Toplam Maliyet:
\text{Toplam} = 900\text{ TL} + 1200\text{ TL} + 200\text{ TL} = 2300\text{ TL}
3. Soru: Maliyeti En Çok Artıran Renk Kombinasyonu
Maliyetin maksimum olması için; birim maliyeti en yüksek olan rengin en büyük alana, en ucuz olan rengin ise en küçük alana denk gelmesi gerekir:
- En Pahalı Renk (Kırmızı): En büyük tabanlı alana \rightarrow 1. Üçgen (3A)
- Ortanca Renk (Mavi): Ortanca tabanlı alana \rightarrow 2. Üçgen (2A)
- En Ucuz Renk (Yeşil): En küçük tabanlı alana \rightarrow 3. Üçgen (A)
Neden:
Çarpım toplamında büyük katsayıları (3A) büyük değerlerle (b_{\text{kırmızı}}), küçük katsayıları (A) küçük değerlerle (b_{\text{yeşil}}) eşleştirmek toplamı en büyük (maksimum) değere ulaştırır.
(Bu durumda maksimum maliyet: 3 \times 600 + 2 \times 300 + 1 \times 200 = 1800 + 600 + 200 = 2600\text{ TL} olur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- b_{\text{yeşil}} < b_{\text{mavi}} < b_{\text{kırmızı}}
- 2300\text{ TL}
- Soldan sağa: Kırmızı - Mavi - Yeşil (En yüksek birim maliyetli boyanın en geniş alana uygulanması mantığıyla).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Doğru Orantı: Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları taban uzunluklarıyla doğru orantılıdır (3:2:1).
- Ters Orantı: Toplam harcama sabitken alan arttıkça birim maliyet azalır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Görsel 1’deki toplam boyama maliyetini taban oranlarına göre (3:2:1) paylaştırmak.- Doğru Yaklaşım: Soruda “Görsel 1’de her bir rengin maliyet fiyatı birbirine eşittir” dendiği için toplam maliyet 3’e eşit bölünür (600\text{ TL} her biri).
Benzer bir oran-orantı ve optimizasyon sorusu ile pekiştirme yapmak ister misin?
