Yer Döşeme Deseni Alan ve Maliyet Orantısı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Üçgenin Alanı: \text{Alan} = \dfrac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
- Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır: \text{Alan} \propto \text{Taban}
- Toplam Maliyet: \text{Maliyet} = \text{Alan} \times \text{Birim Boyama Maliyeti}
Verilenlerin Modellenmesi
Üçgenlerin yükseklikleri (h) dikdörtgenin kısa kenarına eşit olup hepsinde aynıdır. Soldan sağa taban uzunlukları 3, 2, 1 ile orantılı olduğundan, alanları da bu oranla belirlenir:
- 1. Üçgen (Soldaki): Taban = 3k \implies \text{Alan} = 3A
- 2. Üçgen (Ortadaki): Taban = 2k \implies \text{Alan} = 2A
- 3. Üçgen (Sağdaki): Taban = 1k \implies \text{Alan} = 1A
ÇÖZÜM ADIMLARI:
1. Soru Çözümü: Birim Maliyetlerin Sıralanması
Adım 1 — Görsel 1’deki Renk ve Alan İlişkisini Belirleme
Görsel 1’de soldan sağa renk dağılımı:
- Yeşil Üçgenin Alanı: 3A
- Mavi Üçgenin Alanı: 2A
- Kırmızı Üçgenin Alanı: 1A
Adım 2 — Eşit Maliyet Eşitliğini Kurma
Her bir rengin toplam boyama maliyeti birbirine eşittir (M):
\text{Maliyet} = \text{Alan} \times \text{Birim Maliyet} = M
3A \cdot b_{\text{yeşil}} = 2A \cdot b_{\text{mavi}} = 1A \cdot b_{\text{kırmızı}} = M
Buradan birim maliyetleri (b) çekersek:
b_{\text{yeşil}} = \frac{M}{3A}, \quad b_{\text{mavi}} = \frac{M}{2A}, \quad b_{\text{kırmızı}} = \frac{M}{1A}
Paylar eşit olduğunda paydası büyük olan kesir en küçüktür. Dolayısıyla küçükten büyüğe sıralama:
b_{\text{yeşil}} < b_{\text{mavi}} < b_{\text{kırmızı}} \quad (\text{Yeşil} < \text{Mavi} < \text{Kırmızı})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
1. SORUNUN CEVABI: Yeşil < Mavi < Kırmızı
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2. Soru Çözümü: Görsel 2’deki Toplam Maliyetin Hesaplanması
Adım 1 — Görsel 1’deki Birim Alan Maliyetlerini Bulma
Görsel 1’de 3 rengin maliyetleri birbirine eşit ve toplam maliyet 1800\text{ TL} olarak verilmiştir. Her bir rengin maliyeti:
\frac{1800\text{ TL}}{3} = 600\text{ TL}
Buradan A birimlik alan başına düşen renk maliyetlerini bulalım:
- Yeşil için: 3A \cdot b_{\text{yeşil}} = 600\text{ TL} \implies A \cdot b_{\text{yeşil}} = \frac{600}{3} = 200\text{ TL}
- Mavi için: 2A \cdot b_{\text{mavi}} = 600\text{ TL} \implies A \cdot b_{\text{mavi}} = \frac{600}{2} = 300\text{ TL}
- Kırmızı için: 1A \cdot b_{\text{kırmızı}} = 600\text{ TL} \implies A \cdot b_{\text{kırmızı}} = \frac{600}{1} = 600\text{ TL}
Adım 2 — Görsel 2’deki Yeni Renk Dağılımını Hesaplama
Görsel 2’deki yerleşim:
- Soldaki üçgen (Alan = 3A): Mavi boyanmıştır.
\text{Mavi Maliyeti} = 3 \times (A \cdot b_{\text{mavi}}) = 3 \times 300\text{ TL} = 900\text{ TL}
- Ortadaki üçgen (Alan = 2A): Kırmızı boyanmıştır.
\text{Kırmızı Maliyeti} = 2 \times (A \cdot b_{\text{kırmızı}}) = 2 \times 600\text{ TL} = 1200\text{ TL}
- Sağdaki üçgen (Alan = 1A): Yeşil boyanmıştır.
\text{Yeşil Maliyeti} = 1 \times (A \cdot b_{\text{yeşil}}) = 1 \times 200\text{ TL} = 200\text{ TL}
Adım 3 — Toplam Maliyeti Toplama
\text{Toplam Maliyet} = 900\text{ TL} + 1200\text{ TL} + 200\text{ TL} = 2300\text{ TL}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2. SORUNUN CEVABI: 2300 TL
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ters Orantı: Çarpımları sabit olan iki büyüklükten (Alan \times Birim Maliyet) biri arttıkça diğeri azalır. Bu yüzden alanı en büyük olan yeşilin birim maliyeti en düşüktür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Alanı büyük olan rengin birim maliyetini de daha büyük sanmak.- Doğru Yaklaşım: Toplam maliyetler eşit verildiği için büyük alana sahip boyanın birim fiyatı daha ucuz olmalıdır.
Oran-orantı ve alan ilişkisini pekiştirmek için benzer bir ters orantı sorusu çözmek ister misin?
