Öğrenme Çıktısı: M.8.1.1.1. Verilen pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını bulur, pozitif tam sayıların pozitif tam sayı çarpanlarını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar.
Çağrı’ nın bilye sayısının çarpanlarından kendisi hariç en büyük iki çarpanı 9 ve 27’ dir.
Buna göre Mert ve Çağrı’nın bilye sayıları farkını bulunuz.
Çarpanlar ve Katlar: Pozitif Tam Sayı Çarpanı Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir pozitif tam sayının kendisinden küçük en büyük çarpanı, o sayının 1’den büyük en küçük asal çarpanına bölümü ile elde edilir; sayının tüm çarpanları bu ortak kat ilişkisi üzerinden belirlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Mert’in bilye sayısını bulalım:
Mert’in bilye sayısının kendisi hariç en büyük iki çarpanı 15 ve 25 olarak verilmiştir. Bir sayı hem 15 hem de 25 çarpanına sahipse, bu iki sayının en küçük ortak katının (\text{EKOK}) bir katı olmalıdır:
\text{EKOK}(15, 25) = 75
75 sayısının tüm pozitif bölenlerini küçükten büyüğe sıralayalım:
1, 3, 5, 15, 25, 75
Kendisi (75) hariç en büyük iki çarpan gerçekten de 25 ve 15’tir. Mert’in bilye sayısı daha büyük bir kat (örneğin 150) olsaydı, kendisi hariç en büyük çarpanı 75 olurdu. Dolayısıyla Mert’in bilye sayısı 75’tir.
Adım 2 — Çağrı’nın bilye sayısını bulalım:
Çağrı’nın bilye sayısının kendisi hariç en büyük iki çarpanı 27 ve 9’dur. Sayı 27’nin katı olmalıdır:
- Sayı 27 \times 2 = 54 olsaydı; çarpanları arasında 27’den sonra 18 bulunurdu (54 / 3 = 18), bu durum şartı sağlamaz.
- Sayı 27 \times 3 = 81 alındığında pozitif bölenleri sırasıyla şunlardır:
1, 3, 9, 27, 81
81 sayısı hariç tutulduğunda en büyük iki çarpan 27 ve 9 olur. Dolayısıyla Çağrı’nın bilye sayısı 81’dir.
Adım 3 — Bilye sayıları farkını hesaplayalım:
Çağrı ve Mert’in bilye sayıları arasındaki fark:
81 - 75 = 6
CEVAP: 6 (|81 - 75| = 6)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir sayının kendisi hariç en büyük çarpanı ile ikinci en büyük çarpanı arasında başka bir çarpan kalmaması için sayının en küçük asal çarpanlarına dikkat edilmelidir. 81 sayısının sadece 3 asal çarpanı (3^4) olduğu için 27’den bir önceki böleni doğrudan 9 olmuştur.
@Akademik_Rehber şart ne ? en küçük fark yazmıyo
Soruda “en küçük fark” ifadesinin yer almamasının sebebi, bu şartları sağlayan başka hiçbir sayının olmamasıdır. Yani 75 ve 81 birer tercih veya en küçük ihtimal değil, matematiksel olarak tek çözümdür.
Bunun mantığı şu kurala dayanır:
Bir sayının kendisinden küçük en büyük çarpanı, sayının en küçük asal çarpanına bölümüdür.
1. Mert’in bilye sayısı neden SADECE 75 olabilir?
Mert’in bilye sayısına M diyelim. Kendisi hariç en büyük çarpanı 25 olduğuna göre sayı 25 \times p biçimindedir (p, sayının en küçük asal çarpanıdır).
25 sayısı 5’e bölündüğü için, bu sayının en küçük asal çarpanı en fazla 5 olabilir (p \le 5). Olası asal sayılar sadece 2, 3 ve 5’tir:
- p = 2 olursa: Sayı 25 \times 2 = 50 olur.
50’nin çarpanları: 1, 2, 5, 10, \mathbf{25}, 50 \rightarrow En büyük iki çarpan 25 ve 10 olur (15 olamaz). - p = 5 olursa: Sayı 25 \times 5 = 125 olur.
125’in çarpanları: 1, 5, \mathbf{25}, 125 \rightarrow En büyük iki çarpan 25 ve 5 olur (15 olamaz). - p = 3 olursa: Sayı 25 \times 3 = 75 olur.
75’in çarpanları: 1, 3, 5, \mathbf{15}, \mathbf{25}, 75 \rightarrow En büyük iki çarpan tam olarak 25 ve 15 çıkar.
Sayının kendisi hariç en büyük çarpanı 25 olan ve ikinci en büyük çarpanı 15 olan 75’ten başka hiçbir pozitif tam sayı yoktur.
2. Çağrı’nın bilye sayısı neden SADECE 81 olabilir?
Kendisi hariç en büyük çarpanı 27 olduğuna göre sayı 27 \times p biçimindedir. 27 sayısı 3’e bölündüğü için en küçük asal çarpanı p \le 3 olmalıdır (yani 2 veya 3):
- p = 2 olursa: Sayı 27 \times 2 = 54 olur.
54’ün çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, \mathbf{18}, \mathbf{27}, 54 \rightarrow En büyük iki çarpan 27 ve 18 olur (9 olamaz). - p = 3 olursa: Sayı 27 \times 3 = 81 olur.
81’in çarpanları: 1, 3, \mathbf{9}, \mathbf{27}, 81 \rightarrow En büyük iki çarpan tam olarak 27 ve 9 çıkar.
Yine aynı şekilde bu şartı sağlayan 81’den başka hiçbir sayı yoktur.
Özetle: Sayılar kesin olarak 75 ve 81 olmak zorunda olduğundan, soru kökünde “en az”, “en çok” veya “en küçük” gibi bir sınırlama belirtilmesine gerek yoktur. Fark kesinlikle 81 - 75 = 6’dır.
@Akademik_Rehber heeee kendisinden farklı
Aynen öyle! Soruda altı çizili olan “kendisi hariç” ifadesi en kritik noktadır.
Bir sayının kendisinden sonraki en büyük böleni doğrudan sayının kendisini belirler:
- Mert’in bilye sayısının kendisi hariç en büyük çarpanı 25 olduğu için sayının kendisi 25’ten büyük olmak zorundadır. 75’in çarpanları 1, 3, 5, 15, 25, 75 olup kendisi (75) kapatıldığında en büyük çarpanlar tam olarak 25 ve 15 kalır.
- Çağrı’nın bilye sayısında da kendisi (81) kapatıldığında geriye en büyük 27 ve 9 kalır.
Tüm kurgu bu ifadenin üzerine kuruludur.