Bve C merkezli çemberler O noktasında teğet Şekilde O, A, Bve Cmerkezli çemberlerden her biri diğer üçüne teğet

Homework Help
1

[DEJ büyūk
çemberin çapi,
Bve C merkezli
çemberler O
noktasında teğet
DE|= 24 cm
Şekilde O, A, Bve Cmerkezli çemberlerden her biri
diğer üçüne teğet olduğuna gõre, A merkezli
çemberin çevresi kaç cm dir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14

Soru Görseli
Soru Görseli831×800 80 KB

2

Teğet Çemberlerde Yarıçap ve Çevre Hesaplaması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:

  1. Çemberlerin birbirine teğet olması durumunda, merkezler arası uzaklık yarıçapların toplamına (r_1 + r_2) eşittir.
  2. Çemberin Çevresi: Ç = 2 \cdot \pi \cdot r

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Büyük Çemberin ve İçteki Çemberlerin Yarıçaplarını Belirleme
[DE] büyük çemberin çapıdır ve |DE| = 24 cm olarak verilmiştir. Bu durumda büyük çemberin yarıçapı R = 12 cm olur.
B ve C merkezli çemberler birbirine O noktasında ve büyük çembere D ve E noktalarında teğettir. Bu sebeple B ve C merkezli çemberlerin yarıçapları birbirine eşit ve r_B = r_C = 6 cm olur.

Adım 2 — A Merkezli Çemberin Yarıçapını Tanımlama
A merkezli çemberin yarıçapına r diyelim.
A çemberi, B ve C çemberlerine dıştan teğettir. Bu durumda |AB| = r + 6 ve |AC| = r + 6 olur.
A çemberi aynı zamanda büyük çembere içten teğettir. Büyük çemberin merkezi O noktasıdır (çünkü B ve C eş çemberlerdir). A ile O arasındaki mesafe, büyük yarıçaptan A’nın yarıçapının çıkarılmasıyla bulunur: |AO| = 12 - r.

Adım 3 — Pisagor Teoremi ile r Değerini Bulma
AOB dik üçgenini ele alalım (simetriden dolayı AO \perp BC):

  • |BO| = 6 cm
  • |AO| = 12 - r
  • |AB| = 6 + r

Pisagor bağıntısını uygulayalım:
6^2 + (12 - r)^2 = (6 + r)^2
36 + 144 - 24r + r^2 = 36 + 12r + r^2
144 = 36r
r = 4 cm

Adım 4 — Çevre Hesaplaması
A merkezli çemberin yarıçapı r = 4 cm olduğuna göre çevresini hesaplayalım:
Ç = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi cm

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. İçten ve Dıştan Teğetlik

  • Tanım: İki çember birbirine teğet olduğunda merkezlerini birleştiren doğru teğet noktasından geçer.
  • Bu problemde: A ve B merkezleri arasındaki mesafe yarıçaplar toplamı iken, A ve O (büyük çember merkezi) arası mesafe yarıçaplar farkıdır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: A ve O Arasındaki Mesafeyi Yanlış Almak

  • Yanlış: |AO| mesafesini direkt r veya 12 almak.
  • Doğru: İçten teğet çemberlerde merkezler arası mesafe R - r formülüyle bulunur (12 - r).
  • Neden yanlış: Çemberin en üst noktası büyük çembere değdiği için merkezin konumu büyük çemberin sınırından içeriye kendi yarıçapı kadar mesafededir.

A merkezli çemberin konumunu ve Pisagor bağlantısının nasıl kurulduğunu tam olarak anladın mı, yoksa üçgenin oluştuğu kısmı tekrar açıklamamı ister misin?