Buyukten kucuge dogru siralayiniz
Soru:
Bir laboratuvarda yapılan deneyde A, B ve C maddelerinin bulunduğu ortamlarda bakterilerin çoğalma süreci incelenmektedir. Deneyin başında her ortama sadece bir bakteri bırakılmış ve farklı maddelerde bakterilerin çoğalma koşulları aşağıdaki gibi gözlemlenmiştir:
- A maddesi: Her 6 dakikada bakteri sayısı 9 katına çıkmaktadır.
- B maddesi: Her 4 dakikada bakteri sayısı 5 katına çıkmaktadır.
- C maddesi: Her 3 dakikada bakteri sayısı 4 katına çıkmaktadır.
Soru:
A, B ve C maddelerinde 36 dakikalık deney sonunda oluşan bakteri sayılarını büyükten küçüğe sıralayınız.
Çözüm:
Başlangıçta her ortamda 1 bakteri var. Bakteri sayısı zamanla katlanarak artıyor. Bizden istenen, 36 dakika sonunda her ortamda kaç bakteri olduğunu bulup, bu sayıları karşılaştırmak ve büyükten küçüğe sıralamak.
1. A maddesi için:
- Bakteri sayısı her 6 dakikada 9 katına çıkıyor.
- 36 dakika kaç 6 dakikadır?
\frac{36}{6} = 6
- Yani 6 kere 9 katına çıkma gerçekleşiyor.
- Başlangıç sayısı 1 olduğuna göre:
\text{Bakteri sayısı} = 1 \times 9^6 = 9^6
2. B maddesi için:
- Bakteri sayısı her 4 dakikada 5 katına çıkıyor.
- 36 dakika kaç 4 dakikadır?
\frac{36}{4} = 9
- 9 kere 5 katına çıkma gerçekleşiyor.
- Başlangıç sayısı 1 olduğuna göre:
\text{Bakteri sayısı} = 1 \times 5^9 = 5^9
3. C maddesi için:
- Bakteri sayısı her 3 dakikada 4 katına çıkıyor.
- 36 dakika kaç 3 dakikadır?
\frac{36}{3} = 12
- 12 kere 4 katına çıkma gerçekleşiyor.
- Başlangıç sayısı 1 olduğuna göre:
\text{Bakteri sayısı} = 1 \times 4^{12} = 4^{12}
Şimdi bu sayıları karşılaştıralım:
- 9^6
- 5^9
- 4^{12}
Bu sayıların büyüklüğünü karşılaştırmak için hepsini aynı tabana çevirmeye çalışabiliriz veya logaritma kullanabiliriz.
Yaklaşık hesaplama için logaritma kullanımı:
\log tabanı 10 alınarak hesaplanabilir.
| İfade | Hesaplama | Yaklaşık Değer |
|---|---|---|
| 9^6 | 6 \times \log 9 | 6 \times 0.9542 = 5.725 |
| 5^9 | 9 \times \log 5 | 9 \times 0.6990 = 6.291 |
| 4^{12} | 12 \times \log 4 | 12 \times 0.6021 = 7.225 |
Sonuç:
- 4^{12} en büyük (log değeri 7.225)
- 5^9 ikinci (log değeri 6.291)
- 9^6 en küçük (log değeri 5.725)
Büyükten küçüğe sıralama:
4^{12} > 5^9 > 9^6
Yani,
C maddesi > B maddesi > A maddesi
Özet Tablosu
| Madde | Katlanma Süresi (dakika) | Katlanma Sayısı | Katlanma Oranı | Toplam Bakteri Sayısı | Log10 Yaklaşık Değeri | Sıralama |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 6 | 6 | 9 | 9^6 | 5.725 | 3 |
| B | 4 | 9 | 5 | 5^9 | 6.291 | 2 |
| C | 3 | 12 | 4 | 4^{12} | 7.225 | 1 |
Sonuç:
36 dakika sonunda bakterilerin sayısı C maddesinde en fazla, sonra B maddesi, en az ise A maddesinde olur.
Soru:
A, B ve C maddelerinde 36 dakikalık deney sonunda oluşan bakteri sayılarını büyükten küçüğe sıralayınız.
Çözüm Adımları
-
Her ortamda başlangıçta 1 bakteri var.
-
36 dakikada kaç “dönem” olduğunu hesaplayalım:
- A maddesi: Her 6 dakikada bir 9 kat → 36/6 = 6 dönem
- B maddesi: Her 4 dakikada bir 5 kat → 36/4 = 9 dönem
- C maddesi: Her 3 dakikada bir 4 kat → 36/3 = 12 dönem
-
Herbirinin son bakteri sayısını üstel olarak hesaplayalım:
- A: 1 \times 9^6 = 9^6 = 531\,441
- B: 1 \times 5^9 = 5^9 = 1\,953\,125
- C: 1 \times 4^{12} = 4^{12} = 16\,777\,216
-
Elde edilen değerleri karşılaştıralım:
| Madde | Dönem Sayısı | Formül | Son Bakteri Sayısı |
|---|---|---|---|
| A | 6 | 9^6 | 531 441 |
| B | 9 | 5^9 | 1 953 125 |
| C | 12 | 4^{12} | 16 777 216 |
- Büyükten küçüğe sıralama:
C > B > A
Cevap: C maddesi, B maddesi, A maddesi şeklinde sıralanır.