Buna göre, y = -f(x + 4) - 2 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?

Question Answer
1

Buna göre, y = -f(x + 4) - 2 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A) Grafik görseli: x ekseni üzerinde -4, -2, 0, 1, 4 değerleri, y ekseni üzerinde 2, 3 değerleri işaretlenmiş.
B) Grafik görseli: x ekseni üzerinde -4, -2, 0, 1, 4 değerleri, y ekseni üzerinde -7, -6 değerleri işaretlenmiş.
C) Grafik görseli: x ekseni üzerinde -4, -2, -1, 0, 1, 4 değerleri, y ekseni üzerinde -1, 2 değerleri işaretlenmiş.
D) Grafik görseli: x ekseni üzerinde -4, -2, 0, 1, 4 değerleri, y ekseni üzerinde 1, 3 değerleri işaretlenmiş.
E) Grafik görseli: x ekseni üzerinde -4, -2, 0, 1, 4 değerleri, y ekseni üzerinde -2, 1 değerleri işaretlenmiş.

Buna göre, y = -f(x + 4) - 2 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, y = -f(x + 4) - 2 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?724×1024 86.1 KB

2

Fonksiyon Grafiğinde Öteleme ve Simetri

Verilen y = f(x) fonksiyonuna uygulanan adımları inceleyerek g(x) = -f(x + 4) - 2 fonksiyonunun grafiğini adım adım belirleyelim.

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Yatay Öteleme: y = f(x + a) grafiği, a > 0 için f(x) grafiğinin a birim sola ötelenmesidir (x \to x - a).
  • Yansıma (Simetri): y = -f(x) grafiği, f(x) grafiğinin x eksenine göre simetriğidir (kolları ters döner, y \to -y).
  • Düşey Öteleme: y = f(x) - b grafiği, grafiğin b birim aşağı ötelenmesidir (y \to y - b).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI & SEÇENEK ANALİZİ:

Adım 1 — Orijinal Grafikteki Kritik Noktaları Belirleme:
Grafikten f(x) fonksiyonunun kilit noktalarını okuyalım:

  • x \in [0, 2] aralığında fonksiyon sabittir: y = 4
  • x = 4 apsisinde dip (minimum) noktası vardır: (4, 2)
  • x \in [5, 8] aralığında fonksiyon sabittir: y = 5

Adım 2 — Dönüşüm Kurallarını Uygulama:
g(x) = -f(x + 4) - 2 kuralına göre:

  • Apsisler (x değerleri): Fonksiyonun içine x + 4 yazıldığı için grafik 4 birim sola kayar (x_{\text{yeni}} = x - 4).

    • [0, 2] \xrightarrow{-4} [-4, -2]
    • x = 4 \xrightarrow{-4} x = 0
    • [5, 8] \xrightarrow{-4} [1, 4]

  • Ordinatlar (y değerleri): Fonksiyonun işareti eksi ile çarpılıp 2 çıkarıldığı için (y_{\text{yeni}} = -y - 2):

    • y = 4 olan sabit parça: y_{\text{yeni}} = -4 - 2 = -6 olur.
    • y = 5 olan sabit parça: y_{\text{yeni}} = -5 - 2 = -7 olur.
    • y = 2 olan minimum nokta: y_{\text{yeni}} = -2 - 2 = -4 tepe (maksimum) noktası olur.

Adım 3 — Değer Aralığı Kontrolü ve Seçeneklerin Değerlendirilmesi:

  • Fonksiyonun alabileceği en büyük değer y = -4 olduğundan, grafiğin tamamı x ekseninin altında (y \le -4) yer almalıdır.
  • A, C, D ve E Seçenekleri: Pozitif ordinat değerlerine (y > 0) sahip oldukları ve/veya yansıma yönleri uyuşmadığı için elenir.
  • B Seçeneği:
    • [-4, -2] aralığında sabit olarak y = -6,
    • [1, 4] aralığında sabit olarak y = -7,
    • x = 0 apsisinde kollar aşağı doğru bakacak şekilde tepe noktası oluşmuştur ve grafiğin tamamı x ekseninin altındadır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B Seçeneği
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Fonksiyon Dönüşümleri: Fonksiyonun içine yapılan eklemeler x ekseninde zıt yönlü ötelemeye; dışına yapılan işlemler ise y ekseninde doğrudan değişikliğe (yansıma ve düşey öteleme) neden olur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: f(x + 4) ifadesini görüp grafiği 4 birim sağa kaydırmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Parantez içi sıfıra eşitlenerek (x + 4 = 0 \implies x = -4) grafiğin 4 birim sola kaydırılması gerektiği unutulmamalıdır.

Bu soru tipinde yatay ve düşey simetri kurallarını pekiştirmek için benzer bir öteleme sorusu çözmek ister misin?