Buna göre, y = -f(-x + 2) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A) (Grafik: x eksenini -2 ve 2 noktalarında kesen, tepe noktası (0, -4) olan parabol)
B) (Grafik: x eksenini 0 ve 4 noktalarında kesen, tepe noktası (2, 4) olan parabol)
C) (Grafik: x eksenini -4 ve 0 noktalarında kesen, tepe noktası (-2, -4) olan parabol)
D) (Grafik: x eksenini -4 ve 0 noktalarında kesen, tepe noktası (-2, 4) olan parabol)
E) (Grafik: x eksenini 0 ve 4 noktalarında kesen, tepe noktası (2, -4) olan parabol)
Fonksiyon Grafiğinde Dönüşümler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- y = f(x) parabolünün denklemi: Tepe noktası (r, k) = (0, 4) ve kökleri x_1 = -2, x_2 = 2 olan parabol denklemi:f(x) = a(x - r)^2 + k \implies f(x) = 4 - x^2
- Dönüşüm kuralı: g(x) = -f(-x + 2) ifadesinde x yerine (-x + 2) yazılır ve elde edilen fonksiyonun negatifi alınır (fonksiyonun hem x ve y eksenlerine göre simetrileri ve ötelenmesi uygulanır).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Orijinal Fonksiyonun Denklemini Belirleme
Grafiği verilen f(x) fonksiyonunun tepe noktası (0, 4) ve x eksenini kestiği noktalar (-2, 0) ile (2, 0)'dır. Buradan fonksiyonun kuralı:
f(x) = 4 - x^2
Adım 2 — Fonksiyon Dönüşümünü Uygulama
Bizden istenen fonksiyon g(x) = -f(-x + 2) şeklindedir. İlk olarak f(-x + 2) ifadesini bulalım:
f(-x + 2) = 4 - (-x + 2)^2
(-x + 2)^2 = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
f(-x + 2) = 4 - (x^2 - 4x + 4) = -x^2 + 4x
Şimdi fonksiyonun dışındaki eksi işaretini dağıtalım:
g(x) = -f(-x + 2) = -(-x^2 + 4x) = x^2 - 4x
Adım 3 — Yeni Grafiğin Tepe Noktasını ve Köklerini Bulma
Elde ettiğimiz g(x) = x^2 - 4x fonksiyonunun özelliklerini belirleyelim:
- x^2’nin katsayısı pozitif (a = 1 > 0) olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
- x eksenini kestiği noktalar (kökler):x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \implies x = 0 \quad \text{ve} \quad x = 4
- Tepe noktası:r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2k = g(2) = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4Tepe noktası: (2, -4)
Bu özelliklere sahip grafik; kolları yukarı bakan, x eksenini 0 ve 4 noktalarında kesen ve tepe noktası (2, -4) olan E seçeneğindeki grafiktir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E — (Tepe noktası (2, -4) olan, x eksenini 0 ve 4 noktalarında kesen parabol)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- -f(x) Dönüşümü: Grafiğin x eksenine göre simetriğini alır (kolları aşağı olan parabol yukarı döner).
- f(-x) Dönüşümü: Grafiğin y eksenine göre simetriğini alır.
- f(x + a) Dönüşümü: Grafiği yatay doğrultuda öteler.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: -x + 2 = -(x - 2) olduğundan ötelenme yönünü karıştırıp grafiği sola doğru ötelemek.- Doğru Yaklaşım: Dönüşüm kurallarını sırayla uygulamak ya da doğrudan f(x) kuralını yazıp yerine koyarak cebirsel olarak tepe noktası ve eksenleri kestiği yerleri kesinleştirmek.
Benzer bir fonksiyon öteleme ve simetri sorusu ile bu konuyu pekiştirmek ister misin?