x gerçek sayı olmak üzere,
x + 2 < 3x - 7 < x + 8
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre, x’in en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (\frac{5}{2}, \frac{15}{2})
B) (\frac{5}{3}, 5)
C) (\frac{7}{2}, \frac{13}{2})
D) (\frac{9}{2}, \frac{15}{2})
E) (\frac{7}{3}, \frac{15}{2})
x + 2 < 3x - 7 < x + 8 Eşitsizliğinde x’in En Geniş Değer Aralığı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
A < B < C biçimindeki çift yönlü eşitsizlikler iki ayrı eşitsizlik sistemi olarak ele alınır ve kesişimleri bulunur:
- A < B
- B < C
Çözüm kümesi: (A < B) \cap (B < C)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sol Eşitsizliğin Çözümü (x + 2 < 3x - 7)
Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa toplanır:
x + 2 < 3x - 7
2 + 7 < 3x - x
9 < 2x
x > \frac{9}{2}
Adım 2 — Sağ Eşitsizliğin Çözümü (3x - 7 < x + 8)
Benzer şekilde terimler düzenlenir:
3x - 7 < x + 8
3x - x < 8 + 7
2x < 15
x < \frac{15}{2}
Adım 3 — Aralıkların Kesişimi ve En Geniş Değer Aralığı
Bulunan iki eşitsizlik birleştirilir:
\frac{9}{2} < x < \frac{15}{2}
Açık aralık gösterimi:
x \in \left(\frac{9}{2}, \frac{15}{2}\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı — \left(\frac{9}{2}, \frac{15}{2}\right)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Eşitsizlik Sistemleri ve Kesişim
- Tanım: Birden fazla eşitsizliğin aynı anda sağlandığı değerler kümesine çözüm kümesi denir.
- Bu problemde: x’in hem \frac{9}{2}'den büyük hem de \frac{15}{2}'den küçük olması gerektiğinden iki aralığın ortak bölgesi (kesişimi) alınmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Baştaki ve Sondaki İfadeleri Eşleştirmek
- Yanlış: Sadece x + 2 < x + 8 eşitsizliğini çözüp 2 < 8 bularak ortadaki terimi göz ardı etmek.
- Doğru: Ortadaki terimi hem sol (x+2) hem de sağ (x+8) taraf ile ayrı ayrı eşitsizliğe dahil etmek.
- Neden Yanlış?: Zincirleme eşitsizliklerde ortadaki terim sınırlayıcı ana unsurdur; atlandığında çözüm kümesi eksik veya hatalı kalır.
Bu soru tipinde mutlak değerli eşitsizliklerle ilgili benzer bir alıştırma sorusu çözmemi ister misin?