2x + 140
X+5
Buna göre, x’in alabileceği kaç farkli tam sayı değeri
vardır?
ifadesi bir doğal sayıdır.
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E)11
Rasyonel İfadenin Doğal Sayı Olma Koşulu
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\frac{P(x)}{Q(x)} = B(x) + \frac{K}{Q(x)}
- İfadenin bir doğal sayı olması için: \text{Sonuç} \in \mathbb{N} \implies \text{Sonuç} \ge 0 ve tam sayı olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kesri Tam Sayılı Kesir Şeklinde Ayırma
Payı payda cinsinden yazarak sadeleştirelim:
\frac{2x + 140}{x + 5} = \frac{2(x + 5) + 130}{x + 5} = 2 + \frac{130}{x + 5}
Bu sonucun bir tam sayı olabilmesi için x + 5 ifadesi 130 sayısının bir tam böleni olmalıdır.
Adım 2 — 130 Sayısının Asal Çarpanları ve Bölen Sayısı
130 = 2^1 \cdot 5^1 \cdot 13^1
Pozitif bölen sayısı:
\text{PBS} = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8
130’un pozitif bölenleri:
\{1, 2, 5, 10, 13, 26, 65, 130\}
Adım 3 — Doğal Sayı Olma Şartının Kontrolü (A \ge 0)
İfadenin doğal sayı olması için sonucun negatif olmaması gerekir:
2 + \frac{130}{x + 5} \ge 0 \implies \frac{130}{x + 5} \ge -2
-
Durum 1 (x + 5 > 0):
x + 5 pozitif bölenlerin tümünü aldığında kesrin değeri pozitif olur. 2 + \text{pozitif} > 0 eşitsizliği daima sağlandığından, 8 pozitif bölenin tümü için x tam sayı değeri sağlar:\text{Pozitif bölenlerden gelen adet} = 8 -
Durum 2 (x + 5 < 0):
\frac{130}{x + 5} \ge -2 eşitsizliğini sağlayan negatif bölenleri belirleyelim. x + 5 negatif olduğundan her iki tarafı (x + 5) ile çarparsak yön değiştirir:130 \le -2(x + 5) \implies x + 5 \le -65130’un -65’e eşit veya daha küçük olan negatif bölenleri:
x + 5 = -65 \implies 2 + (-2) = 0 \in \mathbb{N}x + 5 = -130 \implies 2 + (-1) = 1 \in \mathbb{N}\text{Negatif bölenlerden gelen adet} = 2
Adım 4 — Toplam Değer Sayısını Hesaplama
8 + 2 = 10 \text{ farklı } x \text{ tam sayı değeri vardır.}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Doğal Sayı: 0’dan başlayıp sonsuza giden pozitif tam sayılar kümesidir (\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}).
- Polinom Bölmesi: Kesirdeki değişkenleri paydadan kurtararak sabit bir sayıya ve bölünebilme kuralına indirgemeyi sağlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Yalnızca 130’un pozitif bölenlerini alıp cevabı 8 bulmak veya sonucun 0’a eşit olabileceğini göz ardı etmek.- Doğru Yaklaşım: Negatif bölenlerden de sonucun \ge 0 olmasını sağlayan -65 ve -130 değerlerini göz önünde bulundurmak.
Bu soru tarzında benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?