Üç basamaklı X3Z doğal sayısı ile iki basamaklı XZ doğal sayısı arasındaki fark, iki basamaklı XZ doğal sayısı ile Z sayısının toplamının 8 katına eşittir.
Buna göre X + Z değeri kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
Basamak Analizi ve Sayı Basamakları Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Çok basamaklı doğal sayılar çözümlenirken basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılır: \overline{ABC} = 100A + 10B + C ve \overline{AB} = 10A + B. Değişkenlerin birer rakam (0 \le \text{rakam} \le 9) ve en büyük basamağın sıfırdan farklı olma koşulu çözüme doğrudan sınır koyar.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sayıları Çözümleyerek Denklemi Kurma
Üç basamaklı X3Z ve iki basamaklı XZ sayılarını basamak değerlerine göre yazalım:
- X3Z = 100X + 30 + Z
- XZ = 10X + Z
Soruda verilen eşitliği kuralım:
(X3Z) - (XZ) = 8 \cdot (XZ + Z)
İfadeleri yerine yazıp sadeleştirelim:
(100X + 30 + Z) - (10X + Z) = 8 \cdot (10X + Z + Z)
90X + 30 = 8 \cdot (10X + 2Z)
90X + 30 = 80X + 16Z
Adım 2 — Denklemi Düzenleme ve Rakam Analizi Yapma
Bilinen ve bilinmeyenleri toparlayıp sadeleştirelim:
10X + 30 = 16Z
Her iki tarafı 2 ile sadeleştirelim:
5X + 15 = 8Z \implies 5(X + 3) = 8Z
X ve Z birer rakam olup X \neq 0’dır. Eşitliğin sol tarafı 5’in, sağ tarafı 8’in katı olduğuna göre; \text{EBOB}(5, 8) = 1 olduğundan (X + 3) ifadesi 8’in katı olmalıdır:
- X bir rakam (1 \le X \le 9) olduğundan, 4 \le X + 3 \le 12 aralığındaki tek 8’in katı 8’dir.
- X + 3 = 8 \implies X = 5 olur.
X = 5 değerini denklemde yerine yazalım:
5 \cdot 8 = 8Z \implies Z = 5
Buradan toplam:
X + Z = 5 + 5 = 10
CEVAP: B) 10 (X + Z = 10)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Basamak analizi sorularında elde edilen a \cdot (X + k) = b \cdot Z türü katsayılı eşitliklerde, harflerin 0 ile 9 arasında birer tam sayı (rakam) olduğu kuralı hatırlanarak aralık kısıtlamasıyla tek bir çözüme çok hızlı ulaşılır.