TYT/TEM
Buna göre (x*y) (x + z) (y +z) çarpımı kaçtır?
xy=
olduğu biliniyor.
A) -2
B) -1
C)0
D) 1
E) 2
x, y, z Reel Sayıları İçin (x + y) \cdot (x + z) \cdot (y + z) Çarpımının Değeri
KULLANILAN KURAL: Verilen toplam eşitliğini kullanarak iki terimli toplamları tek değişkene dönüştürme ve içler dışlar çarpımı ile çarpım değerini elde etme.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İki terimli toplamları tek değişkene indirgeme
x + y + z = 0 eşitliğinden yararlanarak istenen ifadedeki çarpanları ayrı ayrı yazalım:
- x + y = -z
- x + z = -y
- y + z = -x
Adım 2 — İstenen ifadede yerine yazma
Bulunan değerleri (x + y) \cdot (x + z) \cdot (y + z) çarpımında yerine koyalım:
(x + y) \cdot (x + z) \cdot (y + z) = (-z) \cdot (-y) \cdot (-x)
Üç negatif sayının çarpımı negatif olacağından:
(-z) \cdot (-y) \cdot (-x) = -(x \cdot y \cdot z)
Adım 3 — Verilen ikinci eşitliği kullanma
Soruda bize x \cdot y = \frac{1}{z} eşitliği verilmiştir. Her iki tarafı z ile çarptığımızda (z \neq 0):
x \cdot y \cdot z = 1
Adım 4 — Sonucu hesaplama
Elde edilen x \cdot y \cdot z = 1 değerini çarpım ifadesinde yerine yazalım:
-(x \cdot y \cdot z) = -(1) = -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (-1)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Değişken Dönüşümü ve Sadeleştirme
- Tanım: Birden fazla değişken içeren simetrik ifadelerde toplam değerini kullanarak ifadeyi sadeleştirme yöntemidir.
- Bu problemde: x+y+z=0 eşitliği sayesinde 3 ayrı ikili toplam, tek değişkenli çarpanlara (-x, -y, -z) dönüştürülmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşaret Hatası Yapmak
- Yanlış: (-x) \cdot (-y) \cdot (-z) = x \cdot y \cdot z = 1 diyerek D şıkkını işaretlemek.
- Doğru: Üç adet negatif terimin çarpımı negatiftir: (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1, bu nedenle sonuç -(x \cdot y \cdot z) = -1 olur.
- Neden yanlış: Tek sayıda negatif terimin çarpımında sonucun eksi işaretli olduğu unutulmamalıdır.
Benzer bir çarpanlara ayırma veya özdeşlik sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?