3.2 =6
A) 5
B)
D)8
E)9
değer kaçtır?
Buna göre x * y toplamınin alabileceği en büyük
seçebilmektedir.
zeytin ve 2 çeşit reçeli 360 farkli şekilde
gibidir, Yasernin, 1 çeşit ekmek, y çeşit peynir, 1 çeşt
Bu markete bulunan
ürünlerin çeşitleri yukandaki
eiter
Cesirlecl
5adet
adet
Reçel Cesitleri
Ekmek Çeçitleri
PAMUK MARKET
kahvaltilik ürünler sipariş edecektir.
30. Yasemin, Parmuk Marketin telefon uygulamasından
Yasemin’in Kahvaltılık Ürün Seçimi Problemi
KULLANILAN FORMÜL:
Farklı nesneler arasından seçim yaparken Kombinasyon (Seçme) Formülü kullanılır:
\binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \cdot (n - r)!}
Çarpma yoluyla sayma prensibine göre toplam farklı seçim sayısı:
\text{Toplam Seçim Sayısı} = \binom{n_1}{r_1} \times \binom{n_2}{r_2} \times \dots \times \binom{n_k}{r_k}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Çeşit ve Seçim Sayılarını Belirleme
Marketteki ürün sayıları ve Yasemin’in yaptığı seçimler:
- Ekmek: 3 çeşit arasından 1 çeşit \rightarrow \binom{3}{1} = 3
- Peynir: 5 çeşit arasından y çeşit \rightarrow \binom{5}{y}
- Zeytin: 2 çeşit arasından 1 çeşit \rightarrow \binom{2}{1} = 2
- Reçel: x çeşit arasından 2 çeşit \rightarrow \binom{x}{2} = \frac{x \cdot (x - 1)}{2}
Adım 2 — Toplam Seçim Sayısı Denklemini Kurma
Tüm seçimlerin çarpımı 360’a eşittir:
\binom{3}{1} \times \binom{5}{y} \times \binom{2}{1} \times \binom{x}{2} = 360
Sayısal değerleri yerine yazalım:
3 \times \binom{5}{y} \times 2 \times \binom{x}{2} = 360
6 \times \binom{5}{y} \times \binom{x}{2} = 360
Her iki tarafı 6’ya bölelim:
\binom{5}{y} \times \binom{x}{2} = 60
Adım 3 — \binom{5}{y} ve \binom{x}{2} İfadelerinin Olası Değerlerini İnceleme
5 elemanlı bir kümenin alt küme sayıları \binom{5}{y} şu değerleri alabilir:
-
y = 1 \implies \binom{5}{1} = 5 \implies \binom{x}{2} = \frac{60}{5} = 12
\frac{x \cdot (x - 1)}{2} = 12 \implies x \cdot (x - 1) = 24 \quad (\text{Ardışık iki tam sayının çarpımı } 24 \text{ olamaz, tam sayı kökü yoktur.}) -
y = 2 \implies \binom{5}{2} = 10 \implies \binom{x}{2} = \frac{60}{10} = 6
\frac{x \cdot (x - 1)}{2} = 6 \implies x \cdot (x - 1) = 12 \implies x = 4Bu durumda: x + y = 4 + 2 = 6
-
y = 3 \implies \binom{5}{3} = 10 \implies \binom{x}{2} = \frac{60}{10} = 6
\frac{x \cdot (x - 1)}{2} = 6 \implies x \cdot (x - 1) = 12 \implies x = 4Bu durumda: x + y = 4 + 3 = 7
-
y = 4 \implies \binom{5}{4} = 5 \implies \binom{x}{2} = 12 \quad (\text{Tam sayı çözümü yoktur.})
-
y = 5 \implies \binom{5}{5} = 1 \implies \binom{x}{2} = 60 \implies x(x-1) = 120 \quad (\text{Tam sayı çözümü yoktur.})
Adım 4 — En Büyük Değeri Bulma
Elde edilen geçerli (x, y) ikilileri:
- (x, y) = (4, 2) \implies x + y = 6
- (x, y) = (4, 3) \implies x + y = 7
x + y toplamının alabileceği en büyük değer 7’dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (7)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kombinasyon Simetrisi
- Tanım: \binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} eşitliğidir.
- Bu problemde: \binom{5}{2} = \binom{5}{3} = 10 olduğu için y sayısı hem 2 hem de 3 değerini alabilmiş, bu da toplamı büyütmemizi sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
İlk Bulunan y Değeriyle Yetinmek
- Yanlış: \binom{5}{y} = 10 eşitliğinden yalnızca y = 2 alıp x + y = 4 + 2 = 6 bulmak.
- Doğru: \binom{5}{3} = 10 eşitliğini de göz önüne alarak y = 3 değerini kontrol etmek ve en büyük toplam olan 7’ye ulaşmak.
- Neden yanlış: Kombinasyonun simetrik özelliği gereği aynı sonucu veren daha büyük bir y değeri mevcuttur.
Kombinasyon ve sayma problemleriyle ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?