x ve y, 1’den büyük birer tam sayı olmak üzere,
x\sqrt{y} sayısı (4, 5) açık aralığının bir elemanıdır.
Buna göre |x - y| ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
x\sqrt{y} İfadesinin (4, 5) Aralığında Olması Durumunda |x - y| Toplamının Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- a, b > 0 olmak üzere a < x\sqrt{y} < b \iff a^2 < x^2 \cdot y < b^2
- Mutlak değer tanımı: |x - y| = \begin{cases} x - y, & x \ge y \\ y - x, & x < y \end{cases}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eşitsizliği Kare Alarak Düzenleme
x\sqrt{y} sayısı (4, 5) açık aralığında olduğundan:
4 < x\sqrt{y} < 5
Tüm terimler pozitif olduğu için her tarafın karesi alınır:
4^2 < (x\sqrt{y})^2 < 5^2
16 < x^2 \cdot y < 25
Soruda x ve y’nin 1’den büyük birer tam sayı (x \ge 2 ve y \ge 2) olduğu belirtilmiştir.
Adım 2 — x = 2 Durumunu İnceleme
x = 2 için x^2 = 4 olur. Eşitsizlikte yerine yazarsak:
16 < 4y < 25
Her taraf 4’e bölünür:
4 < y < 6{,}25
y > 1 bir tam sayı olduğuna göre y değerleri:
- y = 5 \implies x^2 \cdot y = 4 \cdot 5 = 20 (Aralıkta) \implies |x - y| = |2 - 5| = 3
- y = 6 \implies x^2 \cdot y = 4 \cdot 6 = 24 (Aralıkta) \implies |x - y| = |2 - 6| = 4
Adım 3 — x = 3 Durumunu İnceleme
x = 3 için x^2 = 9 olur. Eşitsizlikte yerine yazarsak:
16 < 9y < 25
Her taraf 9’a bölünür:
\frac{16}{9} < y < \frac{25}{9} \implies 1{,}77 < y < 2{,}77
y > 1 bir tam sayı olduğuna göre:
- y = 2 \implies x^2 \cdot y = 9 \cdot 2 = 18 (Aralıkta) \implies |x - y| = |3 - 2| = 1
Adım 4 — x \ge 4 Durumlarını İnceleme
- x = 4 için x^2 = 16 \implies 16 < 16y < 25 \implies 1 < y < 1{,}56. Bu aralıkta 1’den büyük bir tam sayı yoktur.
- x \ge 5 için x^2 \ge 25 olur. En küçük y = 2 için bile x^2 \cdot y \ge 50 > 25 olacağından çözüm gelmez.
Adım 5 — |x - y| Değerlerinin Toplamını Hesaplama
Elde edilen farklı mutlak değer sonuçları:
\text{Değerler} = \{1, 3, 4\}
\text{Toplam} = 1 + 3 + 4 = 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (8)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Köklü Sayılarda Sıralama ve Aralık
- Tanım: Pozitif köklü ifadelerin değer aralığını bulurken katsayıyı kök içine alıp kare incelemesi yapmak tam sayı denemelerini kolaylaştırır.
- Bu problemde: x\sqrt{y} = \sqrt{x^2 y} yazılarak 16 < x^2 y < 25 eşitsizliğine ulaşıldı.
2. Kısıtlama Şartları (x, y > 1)
- Tanım: Soruda verilen tanım kümesi sınırları, fazladan kök çıkmasını veya eksik işlem yapılmasını önler.
- Bu problemde: x, y > 1 şartı sayesinde x=4 için y=1 durumu elenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
1’den Büyük Şartını Unutmak
- Yanlış: x = 4 için y = 1 alıp |4 - 1| = 3 değerini de hesaba katmak.
- Doğru: Soruda x ve y’nin 1’den büyük olduğu açıkça belirtilmiştir, bu yüzden y \ge 2 olmalıdır.
- Neden yanlış: Tanım kümesi sınırlarına dikkat edilmediğinde hatalı ek değerler bulunur.
Köklü sayılar ve eşitsizlikler konusuyla ilgili benzer bir pratik soru daha çözmemi ister misin?