Özdeş X ve Y cisimleri bir koninin içinde 4r ve r yarıçaplı yörüngelerde düzgün çembersel hareket yapmaktadır.
Buna göre X ve Y cisimlerinin hızları oranı \frac{V_{X}}{V_{Y}} kaçtır? (Sürtünmeler önemsizdir.)
Koni İçinde Düzgün Çembersel Hareket ve Çizgisel Hız Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Sürtünmesiz eğimli bir yüzeyde veya koni içinde yatay düzlemde çembersel hareket yapan bir cisme etki eden kuvvetler yer çekimi kuvveti (G = mg) ve yüzeyin tepki kuvvetidir (N). Yüzeyin eğim açısı sabit olduğundan merkezcil ivme ile yer çekimi ivmesi arasındaki bağıntı v = \sqrt{g \cdot r \cdot \tan\alpha} olup çizgisel hız yarıçapın karekökü ile doğru orantılıdır (v \propto \sqrt{r}).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Düşey ve Yatay Kuvvet Dengelerinin Yazılması
Koninin iç yüzeyinin yatayla yaptığı açı \alpha olduğundan, cisme etki eden yüzey tepki kuvvetinin (N) düşey bileşeni cismin ağırlığını dengelerken, yatay bileşeni merkeze doğru olan merkezcil kuvveti (F_{\text{mer}}) oluşturur:
N \cdot \cos\alpha = m \cdot g
N \cdot \sin\alpha = F_{\text{mer}} = \frac{m \cdot v^2}{r}
Adım 2 — Çizgisel Hız Bağıntısının Elde Edilmesi
İki denklem taraf tarafa oranlandığında kütleden (m) bağımsız hız bağıntısı elde edilir:
\tan\alpha = \frac{v^2}{g \cdot r} \implies v = \sqrt{g \cdot r \cdot \tan\alpha}
Adım 3 — X ve Y Cisimlerinin Hızlarının Oranlanması
Her iki cisim de aynı koni yüzeyinde hareket ettiğinden eğim açısı \alpha ve yer çekimi ivmesi g sabittir. r_X = 4r ve r_Y = r değerleri yerine yazılır:
\frac{V_X}{V_Y} = \sqrt{\frac{r_X}{r_Y}} = \sqrt{\frac{4r}{r}} = \sqrt{4} = 2
CEVAP: 2 \left(\frac{V_X}{V_Y} = 2\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Koni yüzeyi boyunca eğim açısı değişmediği için çizgisel hız daima yörünge yarıçapının karekökü ile orantılıdır (v \propto \sqrt{r}). Cismin kütlesinin farklı verilmesi sonucu değiştirmez çünkü merkezcil kuvvetteki kütle ile ağırlıktaki kütle birbirini sadeleştirir. Açısal hız sorulsaydı \omega = \frac{v}{r} \propto \frac{1}{\sqrt{r}} ilişkisi kullanılacaktı.