Bir öğrenci; mavi ve gri renkli dik üçgen biçimindeki iki kâğıt parçasını, birer kenarı aynı doğru üzerinde olacak ve mavi renkli kâğıdın bir kısmı görünmeyecek biçimde, defterine şekildeki gibi yapıştırıyor. Oluşan bu şekildeki eş açılar ve bazı uzunlukların birim türünden değeri aşağıda verilmiştir.
Buna göre, x kaç birimdir?
Dik Üçgenlerde Benzerlik ve Özel Açılı Üçgenler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Yöndeş Açılar: Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı yöndeş açılar birbirine eşittir.
- 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgeni:30^\circ\text{'nin karşısı} = \frac{\text{Hipotenüs}}{2}, \quad 60^\circ\text{'nin karşısı} = \frac{\text{Hipotenüs}}{2} \cdot \sqrt{3}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Paralelliğin ve Dik Yamuğun Belirlenmesi
Mavi üçgenin sol kenarı ile gri üçgenin sol kenarı, aynı taban doğrusuyla \alpha eş açısını yapmaktadır. Yöndeş açılar eşit olduğundan bu iki kenar birbirine paraleldir. Mavi üçgenin tepe açısı 90^\circ olduğundan, aradaki kenar bu iki paralel doğruya da diktir. Böylece tabanda 10\text{ birim}, paralel kenarları 11\text{ birim} ve 6\text{ birim} olan bir dik yamuk oluşur.
Adım 2 — \alpha Açısının Hesaplanması
Gri üçgenin sol alt köşesinden, mavi üçgenin 11\text{ birim} uzunluğundaki sol kenarına bir dikme indirelim:
- Dikdörtgenden dolayı paralel kenarın tabandaki izdüşüm uzunluğu 6\text{ birim} olur.
- Dikmenin ayırdığı parça:11 - 6 = 5\text{ birim}
- Oluşan dik üçgende hipotenüs 10\text{ birim}, dik kenar 5\text{ birim} olduğuna göre:\cos\alpha = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \implies \alpha = 60^\circ
Adım 3 — Gri Dik Üçgende x Uzunluğunun Bulunması
Gri dik üçgende:
- Tepe açısı 90^\circ, sol alt köşe açısı \alpha = 60^\circ olduğundan sağ alt köşe açısı 30^\circ olur.
- Hipotenüs uzunluğu tabanda 16\text{ birim} olarak verilmiştir.
- x kenarı, 60^\circ’lik açının karşısındaki dik kenardır:x = 16 \cdot \sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 8\sqrt{3}\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Bağıntısı: Hipotenüsün yarısı 30^\circ’nin karşısındaki kenara, bu değerin \sqrt{3} katı ise 60^\circ’nin karşısındaki kenara eşittir.
- Dik Yamukta Dikme İndirme: Paralel olmayan köşeden tabana dikme indirilerek bir dikdörtgen ve bir dik üçgen elde edilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Mavi üçgen ile gri üçgenin doğrudan eş veya benzer olduğunu varsayıp oran kurmaya çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Önce açılar arasındaki paralellik ilişkisinden dik yamuğu görüp \alpha açısının sayısal değerini bulmak.
Benzer bir özel açılı dik üçgen sorusu çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?