TYTA456-2
A) 6
Buna göre x değeri kaçtır?
C) 8
D) 9
E) 10
AClx tane tam sayı değeri alsin.
kenarı üzerinde bir D noktası işaretieyiniz.
JAE =(EB| ve [DE]LAB] olacak şekilde (AB] kenarı
m(ĀBC) < 45° olacak şekilde bir ABC üçgeni çiziniz.
32. Aşağıdaki adımlara göre bir geometrik çizim yapılıyor.
Geometrik Çizim ve Üçgen Eşitsizliği Sorusu
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İkizkenar Üçgen Özelliği: Bir doğru parçasına orta dikme çizildiğinde, bu dikme üzerindeki her nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır.
- Üçgen Eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. (|b-c| < a < b+c)
- Geniş/Dar Açı İlişkisi: Bir üçgende bir açı 45^\circ veya 90^\circ gibi sınır değerlerden küçükse, karşıdaki kenar buna göre sınırlanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çizimin Analiz Edilmesi
Soruda verilenlere göre [DE], [AB] kenarının orta dikmesidir (|AE| = |EB| ve [DE] \perp [AB]). Bu durumda D noktası ile A noktasını birleştirirsek, |AD| = |BD| olur. Soruda |BD| = 8 birim verildiği için |AD| = 8 birimdir.
Adım 2 — ADC Üçgeninin Oluşturulması
|BD| = 8 ve |DC| = 15 birim olarak verilmiş. B-D-C doğrusal olduğundan |BC| = 8 + 15 = 23 birimdir. ADC üçgeninde kenarlarımız |AD| = 8, |DC| = 15 ve |AC| = b (bulmak istediğimiz değer) olsun.
Adım 3 — Üçgen Eşitsizliğinin Uygulanması
ADC üçgeni için genel eşitsizliği yazalım:
15 - 8 < |AC| < 15 + 8
7 < |AC| < 23
Adım 4 — Açının Sınırlandırılması (m(\widehat{ABC}) < 45^\circ)
|AD| = |BD| olduğu için ABD bir ikizkenar üçgendir. Buradan m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ABC}) olur. Soruda m(\widehat{ABC}) < 45^\circ verildiği için m(\widehat{BAD}) < 45^\circ olur.
ADC üçgeninde dış açı kuralına göre; m(\widehat{ADC}) = m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BAD}) = 2 \cdot m(\widehat{ABC}).
m(\widehat{ABC}) < 45^\circ olduğundan, 2 \cdot m(\widehat{ABC}) < 90^\circ olur. Yani \widehat{ADC} açısı bir dar açıdır.
Adım 5 — Dar Açı Koşuluna Göre |AC| Hesabı
Bir üçgende bir açı dar açı (\alpha < 90^\circ) ise, o açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçüktür:
|AC|^2 < 8^2 + 15^2
|AC|^2 < 64 + 225
|AC|^2 < 289
|AC| < 17
Ayrıca m(\widehat{ABC}) açısı küçüldükçe D noktası B’ye yaklaşır, ancak |AD|=8 ve |DC|=15 sabitleri altında m(\widehat{ADC}) açısı büyüdükçe |AC| artar. Alt sınır için m(\widehat{ADC}) > 0 olduğu sürece |AC| > 15 - 8 = 7 geçerlidir.
Elde edilen son aralık: 7 < |AC| < 17
Adım 6 — x Değerinin (Tam Sayı Adedi) Bulunması
|AC|'nin alabileceği tam sayı değerleri: \{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}
Bu değerlerin sayısı 16 - 8 + 1 = 9 tanedir.
Soruda |AC|'nin alabileceği tam sayı değeri sayısı x olarak tanımlanmıştır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 9 (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Orta Dikme Teoremi
- Tanım: Bir doğru parçasını dik kesen ve iki eş parçaya bölen doğrudur.
- Bu problemde: D noktasının A ve B noktalarına eşit uzaklıkta olmasını sağlayarak |AD|=8 olduğunu bulmamıza yaradı.
2. Kenar-Açı İlişkisi
- Tanım: Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur. Açı 90^\circ olsaydı Pisagor bağılntısı (8-15-17) geçerli olurdu.
- Bu problemde: Açının 90^\circ’den küçük olması, |AC|'nin 17’den küçük olması gerektiğini belirledi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Üçgen Eşitsizliği Yapmak
- Yanlış: Sadece 7 < |AC| < 23 aralığını alıp 15 tane değer olduğunu düşünmek.
- Doğru: Soruda verilen 45^\circ bilgisini kullanarak açının dar açı olduğunu fark etmek ve üst sınırı 17’ye çekmek.
- Neden: Geometri sorularında verilen her açı kısıtlaması, kenar uzunlukları için ek bir sınır oluşturur.
Bu çözümde takıldığın bir nokta oldu mu veya benzer bir üçgen eşitsizliği sorusu daha çözmemi ister misin?