Aşağıda verilen beş karta birer üslü ifade yazılmıştır.
5^{30}, 2^{80}, 3^{40}, 7^{30}, 1^{100}
Buna göre üzerinde yazan üslü ifadelerin değeri en büyük ve en küçük olan kartlar sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2^{80}1^{100}
B) 7^{30}1^{100}
C) 3^{40}5^{30}
D) 2^{80}7^{30}
Üslü İfadelerde Sıralama ve Üssün Üssü Kuralı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Tabanları ve üsleri farklı olan pozitif üslü ifadeleri sıralamak için üsler, üslerin en büyük ortak böleni (EBOB) kullanılarak üssün üssü kuralı (a^x)^y = a^{x \cdot y} yardımıyla eşitlenir. Pozitif üsleri eşit olan sayılardan tabanı büyük olan ifade daha büyüktür.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kartlardaki Üslü İfadelerin Üslerini Eşitleme
Verilen kartlardaki sayılar 5^{30}, 2^{80}, 3^{40}, 7^{30} ve 1^{100}'dür. 1’in tüm doğal sayı kuvvetleri 1’e eşit olduğundan 1^{100} = 1’dir. Diğer sayıların üsleri olan 30, 80 ve 40 sayılarının \text{EBOB}(30, 80, 40) = 10 olduğundan, her bir ifadeyi üssü 10 olacak biçimde yazalım:
5^{30} = (5^3)^{10} = 125^{10}
2^{80} = (2^8)^{10} = 256^{10}
3^{40} = (3^4)^{10} = 81^{10}
7^{30} = (7^3)^{10} = 343^{10}
Adım 2 — Değerleri Sıralama ve En Büyük ile En Küçük Değeri Belirleme
Üsler 10’da eşitlendiğine göre tabanlar arasındaki büyüklük ilişkisi 343 > 256 > 125 > 81 > 1 şeklindedir. Buradan hareketle üslü ifadelerin sıralaması:
7^{30} > 2^{80} > 5^{30} > 3^{40} > 1^{100}
- En büyük değer: 7^{30} (Sarı kart)
- En küçük değer: 1^{100} = 1 (Koyu yeşil kart)
CEVAP: B) 7^{30} ve 1^{100}
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tip sorulardaki en yaygın çeldirici, üssü en büyük olan 2^{80} sayısını doğrudan en büyük kabul etmektir. Üsleri eşitlemeden taban veya üs büyüklüğüne göre kesin hüküm verilemez.