Kenar uzunlukları 8 cm ve 10 cm olan bir prizmanın yüksekliği 12 cm dir. Prizma ağzına kadar su dolu iken içine yarıçapı 2 cm olan özdeş demir kürelerden 10 tane atılıyor.
Buna göre, ulaşılan son durumda, kaptan taşan su hacminin, kap içinde kalan su hacmine oranı kaçtır?
(\pi = 3 alınız.)
A) \frac{9}{10}
B) \frac{4}{5}
C) \frac{3}{5}
D) \frac{1}{2}
E) \frac{2}{3}
Buna göre, ulaşılan son durumda, kaptan taşan su hacminin, kap içinde kalan su hacmine oranı kaçtır?
Kaptan Taşan Su Hacminin Kapta Kalan Su Hacmine Oranının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Dikdörtgenler prizmasının hacmi: V_{\text{prizma}} = a \cdot b \cdot h
- Kürenin hacmi: V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3
- Tamamen batan cisimlerde taşan su hacmi: V_{\text{taşan}} = V_{\text{batan cisimler}}
- Kapta kalan su hacmi: V_{\text{kalan}} = V_{\text{toplam}} - V_{\text{taşan}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Prizmanın (İlk Su Hacminin) Hesaplanması
Ağzına kadar dolu olan prizmanın toplam hacmi, içindeki suyun başlangıç hacmine eşittir:
V_{\text{prizma}} = 8\text{ cm} \times 10\text{ cm} \times 12\text{ cm} = 960\text{ cm}^3
Adım 2 — Bir Adet Demir Kürenin Hacminin Hesaplanması
Yarıçapı r = 2\text{ cm} ve \pi = 3 değerleri küre hacmi formülünde yerine yazılır:
V_{\text{küre}} = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot (2\text{ cm})^3 = 4 \cdot 8\text{ cm}^3 = 32\text{ cm}^3
Adım 3 — 10 Adet Demir Kürenin Toplam Hacminin (Taşan Su Hacminin) Hesaplanması
Demir kürelerin özkütlesi suyun özkütlesinden büyük olduğu için küreler tamamen batar. Kap ağzına kadar dolu olduğundan, taşan suyun hacmi kürelerin toplam hacmine eşittir:
V_{\text{taşan}} = 10 \times 32\text{ cm}^3 = 320\text{ cm}^3
Adım 4 — Kap İçinde Kalan Su Hacminin Hesaplanması
Kapta kalan su miktarı, başlangıçtaki su hacminden taşan su hacmi çıkarılarak bulunur:
V_{\text{kalan}} = 960\text{ cm}^3 - 320\text{ cm}^3 = 640\text{ cm}^3
Adım 5 — İstenen Oranın Bulunması
Taşan su hacminin, kap içinde kalan su hacmine oranı:
\text{Oran} = \frac{V_{\text{taşan}}}{V_{\text{kalan}}} = \frac{320\text{ cm}^3}{640\text{ cm}^3} = \frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) \frac{1}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Taşırma Kapları Prensibi
- Tanım: Ağzına kadar sıvı dolu bir kaba bırakılan ve tamamen batan katı bir cisim, kendi hacmi kadar hacimde sıvı taşırır.
- Bu problemde: 10 adet küre suya tamamen battığı için toplam hacimleri (320\text{ cm}^3) kadar su dışarı taşmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kalan Su Hacmi Yerine Toplam Hacme Oranlamak
- Yanlış: \frac{V_{\text{taşan}}}{V_{\text{toplam}}} = \frac{320}{960} = \frac{1}{3} hesaplamak.
- Doğru: Soruda taşan suyun kalan suya oranı istendiği için paydada 640\text{ cm}^3 kullanılmalıdır.
- Neden yanlış: Sorunun kökünde istenen oran “toplam hacme” değil, “kapta kalan suya” göredir.
Benzer bir katı-sıvı hacim ilişkisi veya taşırma kabı sorusuyla pratik yapmak ister misin?