Ryxc Waglio tarafından gönderilen görüntü içeriği incelenmiş ve yanıtı aşağıdaki gibidir:
Sorunun Çözümü
Soruda, tahtadaki pullar üzerine sıralı yazılmış 1’den 40’a kadar olan sayılardan belirli koşulları sağlayanları çıkarıldığı belirtilmektedir. Tüm öncülleri doğru uygulayan bir öğrenci, tahtada kalan pulları küçükten büyüğe sıralayıp baştan ikinci ve sondan üçüncü sayıları toplamaktadır.
Açıklama Adımları
-
Kalan Sayılar:
- Görüntüde üzerinde çarpılar olan pullar, tahtadan çıkarılan sayıları göstermektedir.
- Çıkarılanlar:
- Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37
- Asal sayıların kareleri: 4 (2^2), 9 (3^2), 25 (5^2), 49 gibi…
- Asal sayıların küpleri: 8 (2^3), 27 (3^3), vb.
- Sadece tek asal sayının çarpımları: 6 (2\times3), 10 (2\times5), vb.
Geride kalan sayılar:
- Görüntüde işaretlenmemiş olan sayılar:
1, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40
-
Küçükten büyüğe sıralama:
- Kalan sayılar sıralandıktan sonra:
1, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40
- Kalan sayılar sıralandıktan sonra:
-
Baştan ikinci ve sondan üçüncü sayılar:
- Başlangıçtan ikinci sayı: 12
- Sondan üçüncü sayı: 38
-
Toplam:
12 + 38 = 50
Sonuç
Sorunun doğru cevabı: 50
Yanıt Seçim Kutusu:
Cevap “B) 50” olarak işaretlenmelidir.
Herhangi bir başka sorunuz varsa memnuniyetle yardımcı olurum!
Buna göre tüm öğrencileri doğru uygulayan bir öğrenci tatlıda kalan pulları küçükten büyüğe sıraladığını baştan ikinci ve sondan üçüncü sayılarını toplamını kaç bulacaktır?
Answer:
Aşağıdaki adımlarla çözümleyelim:
1. Sorudaki Öncüller ve Çıkarılacak Sayılar
1’den 40’a kadar yazılı olan pullar tahtaya asılıyor. Öğrenciler, şu dört öbeğe giren pulları tahttadan çıkarmalı:
-
Numarası asal sayı olan pullar (I).
1’den 40’a kadar asal sayılar:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 -
Numarası bir asal sayının karesi olan pullar (II).
Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, … (40’a kadar incelersek 7²=49 > 40)- 2² = 4
- 3² = 9
- 5² = 25
7² = 49 (40’ı aştığından yok)
Dolayısıyla 4, 9, 25 çıkarılır.
-
Numarası bir asal sayının küpü olan pullar (III).
2³=8, 3³=27 ve 5³=125 ( > 40).
Bu yüzden 8, 27 çıkarılır. -
Numarası sadece iki asal sayının çarpımı olan pullar (IV).
Buradaki kritik nokta “sadece iki asal çarpan” olmasıdır (örneğin 6=2×3, 10=2×5). Ancak 12 gibi 2²×3 şeklinde 3 asal çarpana sahip sayı bu nitelikte değildir.1’den 40’a kadar olup “iki asalın çarpımı” şeklinde olanlar:
6 (2×3), 10 (2×5), 14 (2×7), 15 (3×5), 21 (3×7), 22 (2×11), 26 (2×13), 33 (3×11), 34 (2×17), 35 (5×7), 38 (2×19), 39 (3×13).
Bu sayılar da çıkarılır.
2. Kalan Sayıların Listesi
1’den 40’a kadar olan tüm sayıları düşünürsek, yukarıdaki adımlarla çıkartılmayan (yani tahtada kalan) sayılar şöyle olur:
- 1 (ne asal ne de iki asaldan oluşmuş)
- 12 (2²×3 => üç asal çarpan; IV’e girmedi)
- 16 (2⁴ => tek bir asalın dördüncü kuvveti)
- 18 (2×3² => üç asal çarpan)
- 20 (2²×5 => üç asal çarpan)
- 24 (2³×3 => dört asal çarpan)
- 28 (2²×7 => üç asal çarpan)
- 30 (2×3×5 => üç asal çarpan)
- 32 (2⁵ => tek bir asalın beşinci kuvveti)
- 36 (2²×3² => dört asal çarpan)
- 40 (2³×5 => dört asal çarpan)
Küçükten büyüğe sıralanması:
1, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40
3. İstenen Toplam
- Baştan ikinci sayı: Listenin en başı 1, dolayısıyla ikinci sayı 12.
- Sondan üçüncü sayı: Listenin sonu 40, sondan ikincisi 36, sondan üçüncüsü 32.
Bu iki sayının toplamı:
Dolayısıyla baştan ikinci ve sondan üçüncü sayıların toplamı 44 bulunur.
Doğru cevap: 44
@Ryxc_Waglio
Buna göre tüm öncüleri doğru uygulayan bir öğrenci tahtada kalan pulları, küçükten büyüğe sıraladığında baştan ikinci ve sondan üçüncü sayılarını toplamını kaç bulacaktır?
Cevap: Bu problemi adım adım incelediğimizde, geriye kalan pulları sıraladığımızda baştan ikinci sayı 12, sondan üçüncü sayı ise 32 olarak bulunur. İkisinin toplamı 44 eder.
İçindekiler
- Problemin Tanıtımı
- Temel Kavramlar
- Adım Adım Çözüm Yöntemi
- Geriye Kalan Pulların Küçükten Büyüğe Sıralanması
- Baştan İkinci ve Sondan Üçüncü Sayının Toplamı
- Adımların Detaylı Tablosu
- Ek Açıklamalar ve Önemli Notlar
- Özet
1. Problemin Tanıtımı
Bu soru, 1’den 40’a kadar numaralandırılmış pulların bir tahtaya yapıştırıldığını ve daha sonra belirli sayısal özellikleri taşıyan pulların sırasıyla tahtadan çıkarıldığını anlatır. Aşağıdaki özellikleri taşıyan pullar sırasıyla ortamdan (tahtadan) çıkarılmaktadır:
- Numarası asal sayı olan pullar,
- Numarası bir asal sayının karesi olan pullar,
- Numarası bir asal sayının küpü olan pullar,
- Numarası yalnızca (tam olarak) iki asal sayının çarpımı olan pullar.
En son geriye kalan pulları küçükten büyüğe sıraladıktan sonra, bu sıralamanın baştan ikinci ve sondan üçüncü elemanlarının toplamı aranır.
Bu problem, asal sayılar, asal sayıların kuvvetleri (karesi, küpü) ve yarı-asal/semiprime (iki asal sayının çarpımı) gibi konuları aynı anda içerdiği için birden fazla adımın dikkatli şekilde uygulanmasını gerektirir.
2. Temel Kavramlar
- Asal Sayı (Prime Number): 1’den büyük ve sadece 1’e ve kendisine bölünebilen sayılardır (örnek: 2, 3, 5, 7, 11…).
- Asal Sayının Karesi: Bir asal sayının 2. kuvveti (örnek: 2²=4, 3²=9, 5²=25…).
- Asal Sayının Küpü: Bir asal sayının 3. kuvveti (örnek: 2³=8, 3³=27, 5³=125…).
- İki Asal Sayının Çarpımı (Semiprime): Tam olarak iki asal sayının çarpımı olan sayılar (örnek: 6=2×3, 10=2×5, 15=3×5, 35=5×7 vb.). Bu sayılar bazen “yarı-asal” (semiprime) olarak da adlandırılır.
Bu problemde, bu 4 kuralın sırasıyla uygulanmasıyla hangi sayıların tahtadan çıkarıldığını adım adım takip edeceğiz.
3. Adım Adım Çözüm Yöntemi
3.1. 1’den 40’a Kadar Olan Sayıların Başlangıç Kümesi
İlk durumda tahtadaki sayıların kümesi (pullar) aşağıdaki gibidir:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40}
Burada toplam 40 sayı vardır.
3.2. Adım 1 – Asal Sayılı Pulların Çıkarılması
İlk önce numarası asal sayı olan pullar çıkarılır. 1’den 40’a kadar olan asal sayılar:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37
Bunları tahtadan çıkarıyoruz.
Çıkarıldıktan sonra geriye kalanlar:
{1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16,
18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30,
32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40}
Görüldüğü gibi 12 adet asal sayı gittikten sonra 28 sayı kalmıştır.
3.3. Adım 2 – Asal Sayının Karesi Olan Pulların Çıkarılması
Bir asal sayının karesi şeklinde olan 1–40 arasındaki sayılar şunlardır:
- 2² = 4
- 3² = 9
- 5² = 25
- 7² = 49 (ancak 49 > 40, bu yüzden listemizde yok)
Bu adımda 4, 9 ve 25 tahtadan çıkarılır (eğer önceki adımda onlar çıkarılmamışsa). Bu sayılar henüz çıkarılmadığı için şimdi ayıklanacaktır.
Bu adım sonucunda geriye kalanlar:
{1, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,
21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34,
35, 36, 38, 39, 40}
Artık 25 sayı vardır.
3.4. Adım-3 – Asal Sayının Küpü Olan Pulların Çıkarılması
Şimdi, numarası asal sayının küpü olan pulları çıkaracağız. 1’den 40’a kadar:
- 2³ = 8
- 3³ = 27
- 5³ = 125 (125 > 40 olduğu için yok)
- 7³ = 343 (343 > 40 olduğu için yok)
Dolayısıyla 8 ve 27 bu adımda çıkarılır. Çıkarıldığında setimiz:
{1, 6, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21,
22, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36,
38, 39, 40}
Şu an 23 sayı kaldı.
3.5. Adım-4 – Sadece İki Asal Sayının Çarpımı Olan Pulların Çıkarılması
Burada dikkat edilmesi gereken, “sadece iki asal sayının çarpımı” ifadesinin “yarı-asal (semiprime)” anlamına gelmesidir. Verilen sayı tam olarak iki asalın çarpımıysa çıkarılacaktır. (Buna kareler de dahil olabilirdi ancak onlar zaten önceki adımlarda çıkarılmıştır.)
1 ile 40 arasında “iki farklı asal” veya “aynı asalın karesi” (karesi daha önce çıkmış olsa bile biz tarayalım) olacak şekilde çarpımı 40’tan küçük veya eşit olanları sıralayalım:
- 6 = 2 × 3
- 9 = 3 × 3 (zaten çıkarıldı, 2. adım)
- 10 = 2 × 5
- 14 = 2 × 7
- 15 = 3 × 5
- 21 = 3 × 7
- 22 = 2 × 11
- 25 = 5 × 5 (zaten çıkarıldı, 2. adım)
- 26 = 2 × 13
- 27 = 3 × 3 × 3 (küptü, 3. adımda çıkarıldı)
- 33 = 3 × 11
- 34 = 2 × 17
- 35 = 5 × 7
- 38 = 2 × 19
- 39 = 3 × 13
Bizim mevcut kümede bulunanları tek tek kontrol edelim:
• 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39 → Hepsi kümede mevcuttur ve “iki asalın çarpımı” olduğu için bu adımda çıkarılır.
Bu çıkarma işlemi sonucunda elimizde kalan küme:
{1, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40}
Böylece son durumda tahtada 11 sayı kalmıştır.
4. Geriye Kalan Pulların Küçükten Büyüğe Sıralanması
Kalan 11 sayıyı (pulu) küçükten büyüğe yazarsak:
1, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40
5. Baştan İkinci ve Sondan Üçüncü Sayının Toplamı
- Baştan ikinci sayı: 1’den sonraki sıra elemanı = 12
- Sondan üçüncü sayı: Sondan birinci = 40, ikinci = 36, üçüncü = 32
Bu ikisinin toplamı:
12 + 32 = 44
6. Adımların Detaylı Tablosu
Aşağıdaki tabloda her adımda çıkarılan pullar ve kalan pullar özetlenmiştir:
| Adım | Çıkarılan Sayılar | Kalan Sayılar (İşlem Sonrası) |
|---|---|---|
| Başlangıç | (Hiçbir sayı çıkarılmadı) | 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40 |
| 1. Asal sayıları çıkar | 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 | 1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40 |
| 2. Asal sayının karesi olanları çıkar | 4 (2²), 9 (3²), 25 (5²) | 1,6,8,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40 |
| 3. Asal sayının küpü olanları çıkar | 8 (2³), 27 (3³) | 1,6,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,26,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40 |
| 4. İki asalın çarpımı (semiprime) olanları çıkar | 6 (2×3), 10 (2×5), 14 (2×7), 15 (3×5), 21 (3×7), 22 (2×11), 26 (2×13), 33 (3×11), 34 (2×17), 35 (5×7), 38 (2×19), 39 (3×13) | 1,12,16,18,20,24,28,30,32,36,40 |
| Son Durum (Küçükten Büyüğe Sıralı) | - | 1, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40 |
| Baştan 2. (12) ve sondan 3. (32) sayıların toplamı | Toplam: 12 + 32 = 44 | - |
7. Ek Açıklamalar ve Önemli Notlar
- 1 Sayısı: 1 ne asaldır ne de bileşik sayı olarak kabul edilir. Problemde 1 için özel bir çıkarılma kuralı verilmediği için 1 sayısı tahtada kalmaya devam etmiştir.
- Asal Sayıların Kare ve Küpleri: 4, 9, 25, 8, 27 gibi sayıların, önceki adımlarda çıkarılıp çıkarılmadığına dikkat etmek gerekir. Örneğin 9 = 3², 27 = 3³, 25 = 5² gibi.
- İki Asal Sayının Çarpımı (Semiprime) Kapsamı: Bu adımda kareler de yeniden yoklanabilir. Ancak 4 = 2×2, 9 = 3×3, 25 = 5×5 vb. sayılar zaten “asalın karesi” oldukları için 2. adımda çıkarılmıştı. Dolayısıyla 4, 9, 25 gibi sayıları bu adımda tekrar çıkarmamız gerekmedi.
- Diğer Sayılar: Geriye kalan sayılar, ya güç (örneğin 16=2⁴ vb.) ya da üç veya daha fazla asal çarpımına sahip (örneğin 12=2²×3, 20=2²×5, 18=2×3² vb.) olduklarından semiprime kapsamına girmemektedirler. Ayrıca asal, asal karesi ve asal küpü de değillerdir.
- Sıralama: Mutlaka küçükten büyüğe sıralama yaparak ilgili indeksleri (baştan ikinci, sondan üçüncü) doğru bulmak gerekir.
8. Özet
-
Soruya Göre Uygulanan 4 Adım
- Tahtadan asal sayı olanları çıkar.
- Asal sayının karesi olanları çıkar.
- Asal sayının küpü olanları çıkar.
- Tam olarak iki asal sayının çarpımı olanları çıkar.
-
Kalan Sayılar
Uygulamalar sonucunda 1, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40 kalır. -
Aranan Toplam
Küçükten büyüğe sıralamada
• Baştan 2. sayı = 12
• Sondan 3. sayı = 32
Bu ikisinin toplamı = 44
Dolayısıyla problemde istenen sonuç 44 olarak bulunur.