Buna göre, terazinin dijital göstergesinde yazması gereken değer kaçtır?

Question Answer
1
  1. Kefelerine konulan ağırlıkların toplam kütleleri arasındaki farkı gösteren dijital göstergeli bir terazi aşağıda verilmiştir.
    Bu terazinin sol kefesine kütlesi 84 kg olan bir ağırlık, sağ kefesine ise her birinin kütlesi 84 'ün asal çarpanları toplamına eşit olan 4 adet ağırlık yerleştirilmiştir.
    Buna göre, terazinin dijital göstergesinde yazması gereken değer kaçtır?
    A) 28
    B) 36
    C) 44
    D) 48
  2. Bir mimar, alanı 210m^2 olan dikdörtgen şeklindeki bir kat planını, alanları birbirinden farklı 4 odaya ayıracaktır. Odaların alanları metrekare cinsinden tam sayı olup her birinin alanı 210 sayısının pozitif tam sayı çarpanıdır.
    Katta odalar dışında boş yer kalmayacağına göre, odalardan birinin alanı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
    A) 14
    B) 21
    C) 30
    D) 35
  3. Bir lamba ve bu lambaya bağlanabilen üç pil aşağıda verilmiştir.
    Pillerin her biri, üzerinde yazan sayının 1 ve kendisi dışındaki pozitif tam sayı çarpanlarının toplamı kadar enerji vermektedir.
    Pillerden gelen toplam enerji miktarı asal sayı olduğunda lamba yandığına göre, hangi piller birlikte bağlandığında lamba yanar?
    A) I ve II
    B) I ve III
    C) II ve III
    D) I, II ve III
  4. Bir sayı piramidinde her kutucuktaki sayı, altında bulunan ve kendisine temas eden iki kutucuktaki sayının çarpımının sonucunun farklı asal çarpanlarının toplamına eşittir.
    Buna göre, piramidin en tepesindeki kutucuğa hangi sayı yazılmalıdır?
    A) 10
    B) 15
    C) 21
    D) 24

Kefelerine konulan ağırlıkların toplam kütleleri arasındaki farkı gösteren dijital...
Kefelerine konulan ağırlıkların toplam kütleleri arasındaki farkı gösteren dijital...800×845 205 KB

2

8. Sınıf Çarpanlar ve Katlar Soru Çözümleri

Soru 11: Terazi ve Asal Çarpanlar Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir pozitif tam sayının asal çarpanları belirlenirken asal bölen algoritması kullanılır ve her asal çarpan yalnızca birer kez toplanır.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

  1. 84 sayısının asal çarpanlarını bulalım:

    84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7

    84’ün farklı asal çarpanları 2, 3 ve 7’dir.

    \text{Asal Çarpanlar Toplamı} = 2 + 3 + 7 = 12\text{ kg}

  2. Kefelerdeki kütleleri hesaplayalım:

    • Sol kefe = 84\text{ kg}
    • Sağ kefe = 4 \times 12 = 48\text{ kg}

  3. Göstergedeki farkı bulalım:

    \text{Fark} = 84 - 48 = 36\text{ kg}

:white_check_mark: CEVAP: B) 36

Soru 12: Dikdörtgen Alanı ve Pozitif Çarpanlar Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Alanı 210\text{ m}^2 olan kat planı, alanları 210’un pozitif tam sayı çarpanı olan 4 farklı odaya ayrılacaktır. Yani toplamları 210 olan 4 farklı bölen seçilmelidir.

ÇÖZÜM VE SEÇENEK ANALİZİ:
210’un pozitif çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210.

  • A) 14: \{14, 21, 70, 105\} seçildiğinde 14 + 21 + 70 + 105 = 210 olur, sağlanır.
  • B) 21: Yukarıdaki aynı grupta 21 bulunmaktadır, sağlanır.
  • C) 30: \{5, 30, 70, 105\} seçildiğinde 5 + 30 + 70 + 105 = 210 olur, sağlanır.
  • D) 35: Odalardan biri 35 olursa kalan 3 odanın toplamı 210 - 35 = 175 olmalıdır. 105 kullanılmazsa kalan en büyük üç çarpanın toplamı 70 + 42 + 30 = 142 < 175 kalır (ulaşılamaz). 105 kullanılırsa diğer iki çarpanın toplamı 175 - 105 = 70 olmalıdır; fakat çarpanlar listesinden toplamı 70 eden iki farklı çarpan bulunamaz. Bu nedenle 35 olamaz.

:white_check_mark: CEVAP: D) 35

Soru 13: Pillerin Enerji Miktarı ve Asal Sayılar

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir sayının kendisi ve 1 dışındaki tüm pozitif bölenleri toplanarak pilin enerjisi bulunur. İki veya üç pilin enerjileri toplamı yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük bir tam sayı (asal sayı) olduğunda lamba yanar.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

  1. Pillerin enerjilerini hesaplayalım:

    • I. Pil (24): Çarpanları \to 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
      \text{Enerji} = 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 35
    • II. Pil (45): Çarpanları \to 1, 3, 5, 9, 15, 45
      \text{Enerji} = 3 + 5 + 9 + 15 = 32
    • III. Pil (52): Çarpanları \to 1, 2, 4, 13, 26, 52
      \text{Enerji} = 2 + 4 + 13 + 26 = 45

  2. Seçeneklerdeki toplam enerjileri kontrol edelim:

    • A) I ve II: 35 + 32 = 67 (67 bir asal sayıdır, lamba yanar).
    • B) I ve III: 35 + 45 = 80 (Çift sayıdır, asal değildir).
    • C) II ve III: 32 + 45 = 77 = 7 \times 11 (Asal değildir).
    • D) I, II ve III: 35 + 32 + 45 = 112 (Asal değildir).

:white_check_mark: CEVAP: A) I ve II

Soru 14: Sayı Piramidinde Farklı Asal Çarpanlar Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Üstteki kutucuğun değeri, temas ettiği alttaki iki sayının çarpımında yer alan farklı asal çarpanların toplamı ile hesaplanır. İki sayının çarpımının asal çarpan kümesi, bu iki sayının asal çarpan kümelerinin birleşimidir.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

  1. İkinci satırdaki kutuları bulalım:

    • Sol Kutu (12 ve 30):
      12’nin asal çarpanları \{2, 3\}; 30’un asal çarpanları \{2, 3, 5\}.
      Farklı asal çarpanlar kümesi: \{2, 3, 5\}
      \text{Sol Kutu} = 2 + 3 + 5 = 10
    • Sağ Kutu (30 ve 21):
      30’un asal çarpanları \{2, 3, 5\}; 21’in asal çarpanları \{3, 7\}.
      Farklı asal çarpanlar kümesi: \{2, 3, 5, 7\}
      \text{Sağ Kutu} = 2 + 3 + 5 + 7 = 17

  2. En tepedeki (?) kutuyu bulalım:
    Altındaki kutularda 10 ve 17 sayıları vardır.

    • 10’un asal çarpanları \{2, 5\}
    • 17 bir asal sayıdır, asal çarpanı \{17\}
      Çarpımın farklı asal çarpanları: \{2, 5, 17\}
    \text{Tepe Kutusu} = 2 + 5 + 17 = 24

:white_check_mark: CEVAP: D) 24