Bir sporcu antrenman yaparken uzunlukları şekilde verilen bir sahanın etrafında K noktasından başlayarak ok yönünde koşuyor.
Buna göre, sporcu saha etrafında \frac{5}{2} tur attığında aldığı yolun yaptığı yer değiştirme büyüklüğüne oranı kaçtır?
A) 14
B) 12
C) 9
D) 7
E) 5
Sahada \frac{5}{2} Tur Atan Sporcunun Aldığı Yolun Yer Değiştirmesine Oranı
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Çevre Formülü: Ç = 2 \times (a + b)
- Alınan Yol: x = \text{Tur Sayısı} \times Ç
- Yer Değiştirme Büyüklüğü: |\Delta \vec{x}| = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} (Pisagor Bağıntısı / Köşegen Uzunluğu)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sahanın Çevresini Hesaplama
Dikdörtgen şeklindeki sahanın kenar uzunlukları 80\text{ m} ve 60\text{ m} olarak verilmiştir.
Bir tam turun uzunluğu sahanın çevresine eşittir:
Ç = 2 \times (80\text{ m} + 60\text{ m}) = 2 \times 140\text{ m} = 280\text{ m}
Adım 2 — Sporcunun Aldığı Toplam Yolu Bulma
Sporcu saha etrafında \frac{5}{2} (yani 2{,}5) tur koşmuştur.
Alınan toplam yol (x):
x = \frac{5}{2} \times 280\text{ m} = 5 \times 140\text{ m} = 700\text{ m}
Adım 3 — Sporcunun Son Konumunu ve Yer Değiştirmesini Bulma
- Sporcu 2 tam tur attığında tekrar başlangıç noktası olan K noktasına gelir.
- Kalan yarım turda (\frac{1}{2} tur = 140\text{ m}):
- Üst uzun kenar boyunca 80\text{ m} koşar.
- Sağ kısa kenar boyunca 60\text{ m} koşar.
- Bu hareketin sonucunda sporcu, K noktasının tam çaprazındaki (diyagonal) karşı köşeye ulaşmış olur.
İlk konum ile son konum arasındaki en kısa kuş uçuşu mesafe yer değiştirme büyüklüğünü verir (6-8-10 özel dik üçgeni):
|\Delta \vec{x}| = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\text{ m}
Adım 4 — İstenen Oranı Hesaplama
\text{Oran} = \frac{\text{Alınan Yol}}{\text{Yer Değiştirme Büyüklüğü}} = \frac{700\text{ m}}{100\text{ m}} = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (7)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Alınan Yol (Skaler Büyüklük)
- Tanım: Bir cismin hareketi boyunca izlediği yörüngenin toplam uzunluğudur. Yön gözetilmez.
- Bu problemde: Sporcunun 2{,}5 tur boyunca koştuğu toplam mesafe 700\text{ m}'dir.
2. Yer Değiştirme (Vektörel Büyüklük)
- Tanım: Bir hareketlinin son konumu ile ilk konumu arasındaki yönlü en kısa mesafedir.
- Bu problemde: Başlangıç noktası ile bitiş noktası dikdörtgenin karşı köşeleri olduğu için hipotenüs hesaplanarak 100\text{ m} bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yer Değiştirmeyi Alınan Yol ile Karıştırmak
- Yanlış: Yarım turda alınan yolu (80 + 60 = 140\text{ m}) yer değiştirme olarak almak.
- Doğru: Yer değiştirme yörüngeye bağlı değildir; başlangıç ile bitiş arasındaki en kısa doğrusal çizgidir (100\text{ m}).
- Neden yanlış: Yer değiştirme vektörel bir büyüklüktür ve sadece ilk ve son noktalar arasındaki kuş uçuşu mesafeyi ifade eder.
Bu soru tipinde hız ve sürat kavramlarını da içeren benzer bir alıştırma çözmemi ister misin?