Müberra, aşağıda verilen tablodaki her bir sayının altına bu sayının farklı asal çarpanlarının toplamı kadar pulu çubuktan alarak yerleştirmiştir.
Buna göre son durumda Müberra işlemi bitirdiğinde çubukta 40 adet puldan geriye kaç pul kalır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Asal Çarpanlar ve Kalan Pul Sayısı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir doğal sayının asal çarpanları belirlenirken sayı asal çarpan algoritması ile çarpanlarına ayrılır. Yalnızca farklı olan asal çarpanlar toplanarak her sayının altına konulacak pul sayısı bulunur:
\text{Kalan Pul Sayısı} = \text{Toplam Pul Sayısı} - \text{Kullanılan Toplam Pul Sayısı}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tablodaki Sayıların Farklı Asal Çarpanlarını ve Toplamlarını Bulma
-
36 sayısı için:
36 = 2^2 \cdot 3^2Farklı asal çarpanları: 2 ve 3
Kullanılan pul sayısı: 2 + 3 = 5 -
15 sayısı için:
15 = 3 \cdot 5Farklı asal çarpanları: 3 ve 5
Kullanılan pul sayısı: 3 + 5 = 8 -
42 sayısı için:
42 = 2 \cdot 3 \cdot 7Farklı asal çarpanları: 2, 3 ve 7
Kullanılan pul sayısı: 2 + 3 + 7 = 12 -
56 sayısı için:
56 = 2^3 \cdot 7Farklı asal çarpanları: 2 ve 7
Kullanılan pul sayısı: 2 + 7 = 9
Adım 2 — Kullanılan Toplam Pul Sayısını Hesaplama
Her sayının altına yerleştirilen pul sayılarını toplayalım:
\text{Toplam Kullanılan Pul} = 5 + 8 + 12 + 9 = 34 \text{ adet}
Adım 3 — Çubukta Kalan Pul Sayısını Bulma
Başlangıçta çubukta 40 adet pul bulunmaktaydı:
\text{Kalan Pul Sayısı} = 40 - 34 = 6 \text{ adet}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Farklı Asal Çarpan: Bir sayıyı kalansız bölen asal sayılardır. Üslü gösterimde tabanlar o sayının farklı asal çarpanlarını verir (Örn: 36 = 2^2 \cdot 3^2 için sadece 2 ve 3 alınır, üsler hesaba katılmaz).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Asal çarpanların kuvvetlerini de toplamaya dahil etmek (Örn: 36 için 2 + 2 + 3 + 3 = 10 almak).- Doğru Yaklaşım: Soruda belirtildiği üzere yalnızca farklı asal çarpanları birer kez toplamak (2 + 3 = 5).
Benzer bir asal çarpan sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?
@sorumatik_ai 6. sınıf olarak çöz
6. Sınıf Asal Çarpanlar ve Kalan Pul Sayısı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir sayıyı bölen asal sayılara o sayının asal çarpanları denir.
\text{Kalan Pul Sayısı} = \text{Toplam Pul Sayısı} - \text{Kullanılan Pul Sayısı}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların Asal Çarpanlarını Teker Teker Bulalım
Bölen listesi veya çarpan ağacı yardımıyla her sayının asal bölenlerini belirleyip toplayalım:
-
36 sayısı için:
36’yı kalansız bölen asal sayılar 2 ve 3’tür.
Kullanılan pul sayısı:2 + 3 = 5 -
15 sayısı için:
15’i kalansız bölen asal sayılar 3 ve 5’tir.
Kullanılan pul sayısı:3 + 5 = 8 -
42 sayısı için:
42’yi kalansız bölen asal sayılar 2, 3 ve 7’dir.
Kullanılan pul sayısı:2 + 3 + 7 = 12 -
56 sayısı için:
56’yı kalansız bölen asal sayılar 2 ve 7’dir.
Kullanılan pul sayısı:2 + 7 = 9
Adım 2 — Çubuktan Alınan Toplam Pul Sayısını Bulalım
Her sayının altına koyduğumuz pulları toplayalım:
5 + 8 + 12 + 9 = 34 \text{ pul}
Adım 3 — Çubukta Kalan Pul Sayısını Hesaplayalım
Başlangıçta çubukta toplam 40 pul vardı:
40 - 34 = 6 \text{ pul}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Asal Sayı: Yalnızca 1’e ve kendisine kalansız bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, \dots).
- Farklı Asal Çarpan: Bir sayıyı bölen asal sayıların kendileridir. Bir asal sayı birden fazla defa bölünse bile (örneğin 56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 sayısında 2 üç defa vardır) toplamaya yalnızca bir tanesi alınır.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: 56 sayısını 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 olarak yazıp 2 + 2 + 2 + 7 = 13 pul almak.
- Doğru Yaklaşım: Soruda “farklı” dendiği için aynı asal sayıları tekrar toplamamak, yalnızca 2 + 7 = 9 pul almak.
Bu konuyu daha iyi kavramak için çarpan ağacı yöntemiyle bir örnek daha çözmek ister misin?