Taban ayrıtlarının uzunlukları 12 cm, yükseklikleri 2 cm olan kare dik prizma biçiminde iki ekmekle tost yapılacaktır.
Ancak üstteki ekmek, ağırlık merkezi etrafında 60° döndüğünde aşağıdaki görüntü oluşuyor.
Buna göre son durumda A ile B noktaları arasındaki uzaklık kaç cm’dir?
A) 4\sqrt{5}
B) 2\sqrt{22}
C) 4\sqrt{6}
D) 3\sqrt{11}
E) 6\sqrt{3}
Son Durumda A ile B Noktaları Arasındaki Uzaklığın Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Karede Köşegen ve Merkez Uzaklığı:R = \frac{a\sqrt{2}}{2}
- Eşkenar Üçgen Kuralı: İki kenarı eşit (R) ve aralarındaki açı 60^\circ olan üçgen eşkenar üçgendir (|A'B| = R).
- Üç Boyutta Pisagor Teoremi:|AB| = \sqrt{d_{\text{yatay}}^2 + (\Delta h)^2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Ağırlık Merkezinin Köşeye Olan Uzaklığını Bulma
Kare prizmanın taban ayrıtı a = 12\text{ cm} olarak verilmiştir. Tabanın ağırlık merkezinden (dönme merkezinden) herhangi bir köşe noktasına olan yatay uzaklık (R):
R = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}
Adım 2 — Yatay Düzlemdeki Uzaklığı (d_{\text{yatay}}) Hesaplama
Üstteki ekmek ağırlık merkezi etrafında 60^\circ döndürüldüğünde, A noktasının taban düzlemindeki dik izdüşümü A' olur.
Merkez O, A' ve B noktalarının oluşturduğu OA'B üçgeninde:
- |OA'| = 6\sqrt{2}\text{ cm}
- |OB| = 6\sqrt{2}\text{ cm}
- m(\widehat{A'OB}) = 60^\circ
İki kenarı birbirine eşit ve aralarındaki açı 60^\circ olduğu için OA'B üçgeni bir eşkenar üçgendir.
d_{\text{yatay}} = |A'B| = 6\sqrt{2}\text{ cm}
Adım 3 — Düşey Yükseklik Farkını (\Delta h) Belirleme
- Her bir ekmeğin yüksekliği 2\text{ cm}'dir.
- A noktası en üst yüzeyde, B noktası ise en alt tabanda yer aldığından aralarındaki toplam düşey mesafe:
\Delta h = 2\text{ cm} + 2\text{ cm} = 4\text{ cm}
Adım 4 — A ile B Arasındaki Uzaklığı Pisagor Bağıntısı ile Bulma
Yatay ve düşey bileşenler birbirine dik olduğundan Pisagor teoremi uygulanır:
|AB|^2 = (d_{\text{yatay}})^2 + (\Delta h)^2
|AB|^2 = (6\sqrt{2})^2 + 4^2
|AB|^2 = 72 + 16 = 88
|AB| = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (2\sqrt{22}\text{ cm})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Dönme Hareketi ve İzdüşüm
- Tanım: Bir cisim sabit bir eksen etrafında döndürüldüğünde, eksene olan radyal uzaklıklar değişmez.
- Bu problemde: A noktasının dönme merkezine uzaklığı dönüşten önce ve sonra 6\sqrt{2}\text{ cm} olarak sabit kalmıştır.
2. 3 Boyutlu Uzaklık (Öklid Bağıntısı)
- Tanım: Uzaydaki iki nokta arasındaki uzaklık, yatay düzlemdeki mesafe ile düşey mesafenin kareleri toplamının kareköküdür.
- Bu problemde: Taban düzlemindeki 6\sqrt{2}\text{ cm}'lik uzaklık ile 4\text{ cm}'lik yükseklik farkı birleştirilerek |AB| hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yükseklik Farkını Eksik Almak
- Yanlış: Düşey mesafeyi sadece bir ekmeğin yüksekliği olan \Delta h = 2\text{ cm} almak.
- Doğru: İki ekmeğin toplam kalınlığını (\Delta h = 2 + 2 = 4\text{ cm}) hesaba katmak.
- Neden yanlış: A noktası üstteki prizmanın en üst seviyesinde, B noktası ise alttaki prizmanın taban seviyesindedir.
Bu soru tipini pekiştirmek için benzer bir prizma döndürme sorusu çözmemi ister misin?