Sadece A ve B marka arabaların satıldığı bir galeride toplam 100 araba bulunmaktadır.
Bu galerideki A marka araba sayısının B marka araba sayısına oranı,
satıştan önce \frac{3}{2},
satıştan sonra \frac{1}{3}
olarak hesaplanmıştır.
Satılan arabalardan A marka olanların sayısı, B marka olanların sayısının 2 katıdır.
Buna göre, satıştan sonra galeride toplam kaç araba kalmıştır?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
E) 36
Satış Sonrası Galeride Kalan Toplam Araba Sayısı
KULLANILAN FORMÜL VE İLİŞKİLER:
- Oran-orantı temel bağıntısı: \text{Miktar} = k \times \text{Oran Payı}
- Kalan araba sayısı: \text{Kalan} = \text{Başlangıç} - \text{Satılan}
- İçler-dışlar çarpımı: \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \cdot d = b \cdot c
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Satış Öncesi A ve B Marka Araba Sayılarını Bulma
- Başlangıçta toplam 100 araba vardır ve A ile B marka arabaların oranı \frac{3}{2}'dir.
- A marka araba sayısına 3k, B marka araba sayısına 2k diyelim:3k + 2k = 1005k = 100 \implies k = 20
- Buradan başlangıçtaki araba sayıları:
- A marka araba sayısı: 3 \times 20 = 60
- B marka araba sayısı: 2 \times 20 = 40
Adım 2 — Satılan Araba Sayılarını Değişken Cinsinden Tanımlama
- Satılan A marka araba sayısı, satılan B marka araba sayısının 2 katıdır.
- Satılan B marka araba sayısına x dersek:
- Satılan A marka araba sayısı: 2x olur.
Adım 3 — Satış Sonrası Kalan Araba Sayılarını Yazma
- Kalan A marka araba sayısı: 60 - 2x
- Kalan B marka araba sayısı: 40 - x
Adım 4 — Satış Sonrası Oran Eşitliğini Kurma ve x’i Bulma
- Satıştan sonra A marka araba sayısının B marka araba sayısına oranı \frac{1}{3} olarak verilmiştir:\frac{60 - 2x}{40 - x} = \frac{1}{3}
- İçler-dışlar çarpımı yapalım:3 \cdot (60 - 2x) = 1 \cdot (40 - x)180 - 6x = 40 - x180 - 40 = 6x - x140 = 5xx = 28
Adım 5 — Kalan Toplam Araba Sayısını Hesaplama
- Kalan A marka araba sayısı: 60 - 2(28) = 60 - 56 = 4
- Kalan B marka araba sayısı: 40 - 28 = 12
- Galeride kalan toplam araba sayısı:4 + 12 = 16
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 16
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Oran-Orantı ve Kat (k) Değeri
- Tanım: İki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. Toplam miktar verildiğinde orantı sabiti (k) kullanılarak her bir parça bulunur.
- Bu problemde: \frac{\text{A}}{\text{B}} = \frac{3}{2} oranı sayesinde 5k = 100 eşitliği kurularak başlangıç adetleri 60 ve 40 olarak belirlenmiştir.
2. Çok Değişkenli Denklem Kurma
- Tanım: Değişen miktarları tek bir bilinmeyen cinsinden (x ve 2x) ifade ederek durumu matematiksel eşitliğe dönüştürmektir.
- Bu problemde: Satılan araba miktarları (2x ve x) mevcut miktarlardan çıkarılıp yeni orana (\frac{1}{3}) eşitlenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Satılan Araç Oranını Ters Almak
- Yanlış: Satılan A marka arabaya x, B marka arabaya 2x yazmak.
- Doğru: “A marka olanlar, B marka olanların 2 katıdır” ifadesi gereği Satılan A = 2x, Satılan B = x olmalıdır.
- Neden yanlış: Sorudaki kat ilişkisini yanlış değişkene atamak denklemin yanlış kurulmasına ve hatalı sonuca yol açar.
Kalan Toplam Yerine Sadece x Değerini ya da Bir Markayı İşaretlemek
- Yanlış: Bulunan x = 28 değerini veya tek bir markanın kalanını (12) işaretlemek.
- Doğru: Soruda kalan toplam araba sayısı sorulduğu için her iki markadan kalanları toplayarak 4 + 12 = 16 sonucuna ulaşmaktır.
- Neden yanlış: Denklem çözüldükten sonra sorunun köküne dikkat edilmezse ara işlem basamağındaki sayılar doğru cevap zannedilebilir.
Bu tip oran-orantı ve denklem kurma problemlerini pekiştirmek için benzer bir soru daha çözmemi ister misin?