A, B ve C kümeleri 8 elemanlı E evrensel kümesinin boş olmayan birer alt kümesidir.
A ap B ap C = emptyset
(A setminus B) up (B setminus C) up (C setminus A) = E
s(A) = s(B) = s(C) = 5
olduğu bilinmektedir.
Buna göre s(A ap B) + s(B ap C) + s(C ap A) toplamı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Üç kümenin birleşiminin eleman sayısı formülü (İçerme-Dışlama Prensibi):
s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) + s(C) - \big[s(A \cap B) + s(B \cap C) + s(C \cap A)\big] + s(A \cap B \cap C)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Evrensel Küme ve Birleşim Kümesinin İncelenmesi
A, B ve C kümelerinin Venn şemasındaki ayrık bölgelerini tanımlayalım:
- Yalnız A kümesinde olan bölge: a
- Yalnız B kümesinde olan bölge: b
- Yalnız C kümesinde olan bölge: c
- Yalnız A ve B’nin kesişimi: x
- Yalnız B ve C’nin kesişimi: y
- Yalnız C ve A’nın kesişimi: z
- Üç kümenin de dışında kalan bölge: w
A \cap B \cap C = \emptyset verildiğinden merkez kesişim bölgesi 0’dır.
Verilen fark kümelerini yazarsak:
- A \setminus B = a + z
- B \setminus C = b + x
- C \setminus A = c + y
Bu kümelerin birleşimi:
(A \setminus B) \cup (B \setminus C) \cup (C \setminus A) = a + b + c + x + y + z
Bu birleşim E evrensel kümesine eşit olduğundan, kümelerin dışında hiçbir eleman yoktur (w = 0). Dolayısıyla:
s(A \cup B \cup C) = s(E) = 8
Adım 2 — Formülün Uygulanması ve İkişerli Kesişimlerin Toplamının Bulunması
Verilen değerleri üçlü birleşim formülünde yerine yazalım:
- s(A \cup B \cup C) = 8
- s(A) = 5
- s(B) = 5
- s(C) = 5
- s(A \cap B \cap C) = 0
s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) + s(C) - \big[s(A \cap B) + s(B \cap C) + s(C \cap A)\big] + s(A \cap B \cap C)
8 = 5 + 5 + 5 - \big[s(A \cap B) + s(B \cap C) + s(C \cap A)\big] + 0
8 = 15 - \big[s(A \cap B) + s(B \cap C) + s(C \cap A)\big]
s(A \cap B) + s(B \cap C) + s(C \cap A) = 15 - 8 = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- İçerme-Dışlama Prensibi: Birden fazla kümenin birleşiminin eleman sayısı hesaplanırken ortak kesişimlerin fazladan sayılmasını engellemek için çıkarılması işlemidir.
- Fark Kümesi (A \setminus B): A kümesinde bulunup B kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu kümedir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Fark kümelerinin birleşiminin E’ye eşit olmasını dikkate almayıp A \cup B \cup C’yi 8’den küçük kabul etmek.- Doğru Yaklaşım: Fark birleşiminin tüm ayrık bölgeleri kapsadığını görüp evrensel kümede dışarıda eleman kalmadığını (s(A \cup B \cup C) = s(E)) tespit etmek.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?