Bir depoda çalışan otonom taşıma robotunun konumu sayı doğrusu üzerinde modellenmektedir.
Robot başlangıçta \frac{31}{6} noktasında bulunurken doğrusal bir yol izleyerek -\frac{17}{4} noktasına ulaşmıştır.
Buna göre robotun başlangıç ve ulaştığı konumlar arasında bulunan tam sayıların sayısı kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
Robotun Başlangıç ve Bitiş Konumları Arasındaki Tam Sayıların Sayısı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir aralıktaki tam sayıları belirlemek için rasyonel sayıların yaklaşık veya tam sayılı kesir değerleri bulunur.
a < b olmak üzere iki rasyonel sayı arasındaki ardışık tam sayıların adedi:
\text{Terim Sayısı} = \text{Son Terim} - \text{İlk Terim} + 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Rasyonel Sayıları Tam Sayılı Kesre / Ondalık Biçime Dönüştürme
Robotun bulunduğu noktaları sayı doğrusundaki yerlerini net görmek için tam sayılı kesir olarak ifade edelim:
- Bitiş noktası: -\frac{17}{4} = -4\frac{1}{4} = -4{,}25
- Başlangıç noktası: \frac{31}{6} = 5\frac{1}{6} \approx 5{,}17
Adım 2 — Bu İki Nokta Arasında Kalan Tam Sayı Sınırlarını Belirleme
Sayı doğrusunda -4{,}25 ile 5{,}17 arasında yer alan en küçük ve en büyük tam sayıları bulalım:
- -4{,}25’ten büyük olan en küçük tam sayı: -4
- 5{,}17’den küçük olan en büyük tam sayı: 5
Adım 3 — Aralıktaki Tam Sayıları Listeleme ve Sayma
Bu iki değer arasındaki tüm tam sayılar şunlardır:
\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}
Terim sayısı formülünü uygulayarak hesaplayalım:
\text{Tam Sayı Sayısı} = 5 - (-4) + 1 = 5 + 4 + 1 = 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterimi
- Tanım: Kesirlerin sayı doğrusunda hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulma işlemidir.
- Bu problemde: -\frac{17}{4} kesrinin -5 ile -4 arasında; \frac{31}{6} kesrinin ise 5 ile 6 arasında yer aldığı belirlenmiştir.
2. Sıfırın Tam Sayı Olması
- Tanım: 0, ne pozitif ne negatif olan bir tam sayıdır.
- Bu problemde: Negatif ve pozitif sayılar arasındaki tam sayılar sayılırken 0 elemanı mutlaka sayıya dahil edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Negatif Sayılarda Sınır Belirleme Hatası
- Yanlış: -\frac{17}{4} değerini -4’ten küçük kabul edip -5’i aralığa dahil etmek.
- Doğru: -\frac{17}{4} = -4{,}25 olduğundan -5 bu aralığın solunda kalır; aralıktaki en küçük tam sayı -4’tür.
- Neden yanlış: Negatif sayılarda sıfırdan uzaklaştıkça değer küçülür, -4{,}25 sayısı -4 ile -5 arasındadır.
Sıfır (0) Sayısını Saymayı Unutmak
- Yanlış: 4 tane negatif ve 5 tane pozitif sayıyı toplayıp cevabı 9 bulmak.
- Doğru: 0 da bir tam sayıdır, toplam 4 + 1 + 5 = 10 adet tam sayı vardır.
- Neden yanlış: Sıfır bir işaret taşımasa da tam sayılar kümesinin elemanıdır.
Rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterme ve sıralama ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
Robotun Başlangıç ve Bitiş Konumları Arasındaki Tam Sayıların Sayısı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Rasyonel sayıların sayı doğrusunda hangi tam sayılar arasında yer aldığını bulmak için kesirler tam sayılı kesre veya ondalık gösterime dönüştürülür. İki sınır değer arasındaki tam sayı adedi terim sayısı formülü ile de bulunabilir:
\text{Terim Sayısı} = \text{Son Terim} - \text{İlk Terim} + 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sınır Noktalarını Tam Sayılı / Ondalık Kesre Çevirme
Robotun bulunduğu noktaları sayı doğrusundaki yerlerini netleştirmek için düzenleyelim:
- Bitiş noktası: -\frac{17}{4} = -4\frac{1}{4} = -4{,}25
- Başlangıç noktası: \frac{31}{6} = 5\frac{1}{6} \approx 5{,}16
Adım 2 — Aralıktaki En Küçük ve En Büyük Tam Sayıları Belirleme
Robot -\frac{17}{4} ile \frac{31}{6} noktaları arasında hareket etmiştir. Bu aralıktaki tam sayı koşulu:
-4{,}25 < x < 5{,}16 \quad (x \in \mathbb{Z})
- -4{,}25’ten büyük olan en küçük tam sayı: -4
- 5{,}16’dan küçük olan en büyük tam sayı: 5
Adım 3 — Aralıktaki Tam Sayıları Sayma
Bu iki nokta arasında yer alan tüm tam sayılar kümesi:
\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}
Aralıktaki sayı grupları:
- Negatif tam sayılar: -4, -3, -2, -1 (4 adet)
- Nötr tam sayı: 0 (1 adet)
- Pozitif tam sayılar: 1, 2, 3, 4, 5 (5 adet)
Toplam tam sayı sayısı:
4 + 1 + 5 = 10 \text{ tanedir.}
Formül ile doğrulama:
\text{Terim Sayısı} = 5 - (-4) + 1 = 5 + 4 + 1 = 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusundaki Konumu
- Tanım: Bir rasyonel sayının hangi ardışık iki tam sayı arasına düştüğünü bulmak için tam sayılı kesre çevrilir.
- Bu problemde: -\frac{17}{4} sayısı -5 ile -4 arasında; \frac{31}{6} sayısı ise 5 ile 6 arasındadır.
2. Sıfırın (0) Tam Sayı Niteliği
- Tanım: 0 sayısı işaretsizdir (nötr) fakat tam sayılar kümesinin (\mathbb{Z}) bir elemanıdır.
- Bu problemde: Negatiften pozitife geçerken 0 sayısı aralıktaki tam sayılardan biri olarak hesaba katılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sıfır (0) Sayısını Sayıma Dahil Etmemek
- Yanlış: Sadece pozitif ve negatifleri sayıp 4 + 5 = 9 (C seçeneği) bulmak.
- Doğru: 0 da bir tam sayı olduğundan 4 + 1 + 5 = 10 olarak hesaplanmalıdır.
- Neden yanlış: 0 pozitif veya negatif değildir ancak bir tam sayıdır.
Negatif Sayılarda Sınır Belirleme Hatası
- Yanlış: -4{,}25’ten büyük ilk tam sayıyı -5 olarak almak.
- Doğru: Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe değer büyür; -4{,}25’in sağındaki ilk tam sayı -4’tür.
- Neden yanlış: Negatif sayılarda sayı doğrusunun solundaki sayı daha küçüktür (-5 < -4{,}25).
Bu konuyu pekiştirmek için rasyonel sayı aralıklarıyla ilgili benzer bir pratik soru çözmemi ister misin?