Buna göre raftaki son küplerden birinin hacminin kaç cm³ olduğunu bulunuz

Maths Question
1

aşağıdaki rafa hacmi 16 karekök 2 cm olan Özdeş küplerden 6 tanesi yerleştirildiğinde rafın her iki tarafından 3karekök 2 cmlik boşluk kalıyor, bu küpler kaldırılıyor yerine başka Özdeş küplerden 4 tanesi yerleştirildiğinde rafın her iki ucundan kök 2 cmlik boşluk kalmıştır, buna göre raftaki son küplerden birinin hacminin kaç cm olduğunu bulunuz

aşağıdaki rafa hacmi 16 karekök 2 cm olan Özdeş küplerden 6 tanesi yerleştirildiğinde...
aşağıdaki rafa hacmi 16 karekök 2 cm olan Özdeş küplerden 6 tanesi yerleştirildiğinde...1024×513 104 KB

2

Raftaki Son Küplerden Birinin Hacminin Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  • Küpün Hacmi: V = a^3 (a: bir ayrıt uzunluğu)
  • Rafın Toplam Uzunluğu = \text{Sol Boşluk} + (n \times a) + \text{Sağ Boşluk}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İlk küplerin bir ayrıt uzunluğunu bulma
İlk durumda kullanılan küplerin hacmi 16\sqrt{2}\text{ cm}^3 olarak verilmiştir. Bir ayrıt uzunluğuna a_1 dersek:

a_1^3 = 16\sqrt{2}
16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{1/2} = 2^{9/2}
a_1 = (2^{9/2})^{\frac{1}{3}} = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = 2\sqrt{2}\text{ cm}

Adım 2 — Rafın toplam uzunluğunu hesaplama
İlk durumda 6 adet küp yerleştirilmiş ve rafın her iki ucunda 3\sqrt{2}\text{ cm} boşluk kalmıştır:

\text{Küp dizisinin uzunluğu} = 6 \times a_1 = 6 \times 2\sqrt{2}\text{ cm} = 12\sqrt{2}\text{ cm}
\text{Toplam Raf Uzunluğu} = 3\sqrt{2}\text{ cm} + 12\sqrt{2}\text{ cm} + 3\sqrt{2}\text{ cm} = 18\sqrt{2}\text{ cm}

Adım 3 — İkinci durumdaki yeni küplerin bir ayrıt uzunluğunu bulma
İkinci durumda rafta 4 adet yeni küp varken rafın her iki ucunda \sqrt{2}\text{ cm} boşluk kalmaktadır. Yeni küplerin bir ayrıtına a_2 dersek:

\text{Toplam Raf Uzunluğu} = \sqrt{2}\text{ cm} + (4 \times a_2) + \sqrt{2}\text{ cm} = 18\sqrt{2}\text{ cm}
4a_2 + 2\sqrt{2}\text{ cm} = 18\sqrt{2}\text{ cm}
4a_2 = 18\sqrt{2}\text{ cm} - 2\sqrt{2}\text{ cm}
4a_2 = 16\sqrt{2}\text{ cm}
a_2 = \frac{16\sqrt{2}}{4} = 4\sqrt{2}\text{ cm}

Adım 4 — Yeni küplerden birinin hacmini hesaplama
Bir ayrıtı a_2 = 4\sqrt{2}\text{ cm} olan yeni küpün hacmi (V_2):

V_2 = a_2^3 = (4\sqrt{2})^3
V_2 = 4^3 \times (\sqrt{2})^3 = 64 \times 2\sqrt{2} = 128\sqrt{2}\text{ cm}^3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 128\sqrt{2}\text{ cm}^3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Köklü Sayılarda Küp Alma

  • Tanım: Bir köklü ifadenin küpü alınırken katsayının ve köklü kısmın ayrı ayrı üçüncü kuvveti hesaplanır.
  • Bu problemde: (4\sqrt{2})^3 = 4^3 \times (\sqrt{2})^3 = 64 \times 2\sqrt{2} = 128\sqrt{2} işlemi kullanılmıştır.

2. Doğrusal Uzunluk Korunumu

  • Tanım: Bir raf veya zemin üzerine yerleştirilen nesneler ve boşlukların toplamı, zeminin sabit uzunluğunu verir.
  • Bu problemde: İki farklı durumdaki toplam uzunluk 18\sqrt{2}\text{ cm} olarak birbirine eşitlenmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Boşlukları Tek Taraflı Toplamak

  • Yanlış: Raf uzunluğunu bulurken sadece bir uçtaki 3\sqrt{2}\text{ cm} boşluğu eklemek (12\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}).
  • Doğru: Rafın hem sağında hem de solunda boşluk olduğu için 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\text{ cm} eklenmelidir.
  • Neden yanlış: Soru kökünde “her iki tarafından/ucunda” ifadesi yer aldığından her iki tarafın boşluğu da hesaba katılmalıdır.

Bu çözümle ilgili aklına takılan bir adım var mı, yoksa benzer bir köklü sayı-geometri pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?

3

nasıl 3 üzeri 9 bölü 2 oluyor onu anlamadım lütfen yardım

4

16\sqrt{2} İfadesinin Üslü ve Köklü Dönüşümünün Açıklaması

:light_bulb: KULLANILAN TEMEL KURALLAR:

  • Kökten Üslü Sayıya Geçiş: \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
  • Tabanları Aynı Olan Üslü Sayıların Çarpımı: x^a \cdot x^b = x^{a+b}
  • Üssün Üssü Kuralı: (x^a)^b = x^{a \cdot b}

:brain: ADIM ADIM DÖNÜŞÜM:

Bu dönüşümü daha rahat anlayabilmen için iki farklı yolla açıklayalım:

1. Yol: Üslü Sayı Kuralları ile (Kuvvetlerin Hesaplanması)

Adım 1 — Sayıları 2’nin kuvveti şeklinde yazma

  • 16 = 2^4
  • \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}

Adım 2 — Çarpma işlemini yapıp üsleri toplama
Tabanlar aynı (2) olduğu için üsler toplanır:

16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{4 + \frac{1}{2}}

Burada 4 + \frac{1}{2} rasyonel toplamasını yaparsak:

4 + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

Böylece ifademiz 2^{\frac{9}{2}} haline gelir. (Taban 3 değil, 2’dir).

Adım 3 — Küp kökünü alarak bir ayrıtı (a_1) bulma
Küpün hacmi a_1^3 = 2^{\frac{9}{2}} olduğuna göre, her iki tarafın \frac{1}{3}. kuvvetini (küp kökünü) alırız:

a_1 = \left(2^{\frac{9}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}

Üssün üssü kuralından dolayı üsler çarpılır:

\frac{9}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{9 \times 1}{2 \times 3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}

Sonuç olarak:

a_1 = 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\text{ cm}

2. Yol: Pratik Doğrudan Yol (Küp Açılımı)

Üslü sayılarla uğraşmadan doğrudan 2\sqrt{2} sayısının küpünü alarak da eşitliği görebilirsin:

(2\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}
(2 \times 2 \times 2) \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2})
= 8 \times (2 \times \sqrt{2}) = 8 \times 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\text{ cm}^3

Görüldüğü gibi bir ayrıt 2\sqrt{2}\text{ cm} olduğunda hacim tam olarak 16\sqrt{2}\text{ cm}^3 çıkmaktadır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: ÖZET: 16\sqrt{2} sayısı 2^4 \cdot 2^{1/2} = 2^{9/2} şeklinde yazılır. Küp kökü alındığında üs \frac{1}{3} ile çarpılarak 2^{3/2} = 2\sqrt{2} elde edilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAM:

  • Rasyonel Üsler: x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^a} kuralıdır. \sqrt{2} sayısı 2^{\frac{1}{2}} olarak yazıldığı için tam sayı olan üs 4 ile \frac{1}{2} toplanarak \frac{9}{2} bulunmuştur.

Bu açıklama üslü kuvvetlerin nasıl toplandığını ve sadeleştiğini netleştirdi mi, yoksa köklü sayıları üslü sayıya çevirmeyle ilgili başka bir örnek üzerinden pekiştirelim mi?