hey
11. A ven doğal sayılar olmak üzere,
30! = 8:A
eşitliği veriliyor.
Buna göre, n’nín en büyük değeri kaçtır?
bn
A)5
B) 6
C) 7
D) 8
r?
E) 0
E) 9
30! = 8^n \cdot A Eşitliğinde n Doğal Sayısının En Büyük Değerini Bulma
KULLANILAN FORMÜL:
Bir faktöriyel içerisindeki bir asal çarpanın (p) en büyük kuvvetini bulmak için ardışık bölme (Legendre Formülü) uygulanır. Taban asal değilse, önce asal tabana dönüştürülür:
8^n = (2^3)^n = 2^{3n}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tabanı Asal Çarpanına Ayırma
8 sayısı asal olmadığı için 2 tabanında yazılır:
30! = (2^3)^n \cdot A = 2^{3n} \cdot A
Bu durumda 30! içerisindeki toplam 2 asal çarpanı sayısı bulunmalıdır.
Adım 2 — 30! İçindeki 2 Asal Çarpanlarının Sayısını Bulma (Ardışık Bölme)
30 sayısı, bölüm 2’den küçük olana kadar sürekli 2’ye bölünür ve elde edilen bölümler toplanır:
- 30 \div 2 = \mathbf{15}
- 15 \div 2 = \mathbf{7}
- 7 \div 2 = \mathbf{3}
- 3 \div 2 = \mathbf{1}
Bölümlerin toplamı:
15 + 7 + 3 + 1 = 26
Buna göre 30! sayısının içinde en fazla 2^{26} çarpanı bulunur (30! = 2^{26} \cdot k).
Adım 3 — n’nin En Büyük Değerini Hesaplama
A bir doğal sayı olduğuna göre:
3n \le 26
n \le \frac{26}{3} \approx 8{,}66
n bir doğal sayı olduğu için alabileceği en büyük tam sayı değeri:
n = 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Legendre Kuralı (Ardışık Bölme Yöntemi)
- Tanım: n! sayısının içindeki bir p asal sayısının en büyük üssünü bulmak için n, p’ye bölünür ve çıkan bölümler ardışık olarak tekrar p’ye bölünerek toplanır.
- Bu problemde: 30! içindeki 2 çarpanlarının toplam sayısının 26 olduğunu bulmak için kullanıldı.
2. Asal Taban Dönüşümü
- Tanım: Bileşik tabanlı üslü ifadeler ardışık bölmeye tabi tutulamaz; önce asal tabanların kuvveti cinsinden yazılmalıdır.
- Bu problemde: 8^n ifadesi doğrudan 8’e bölünemeyeceği için 2^{3n} biçimine dönüştürüldü.
SIK YAPILAN HATALAR:
30’u Doğrudan 8’e Bölmek
- Yanlış: 30 \div 8 = 3 diyerek cevabı 3 bulmak.
- Doğru: 8 asal bir sayı olmadığı için önce 2^3 tabanına dönüştürülmeli ve 2’ye bölme işlemi yapılmalıdır.
- Neden yanlış: Faktöriyellerde ardışık bölme kuralı yalnızca asal sayılar için geçerlidir.
Faktöriyelde asal çarpan bulma konusuyla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
30! = 8^n \cdot A Eşitliğinde n’nin En Büyük Değeri
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir faktöriyel içerisindeki bir asal çarpanın sayısını bulmak için Legendre Formülü (faktöriyeli sürekli asal sayıya bölme yöntemi) uygulanır. Taban bileşik bir sayı ise önce asal çarpanlarına dönüştürülür:
8^n = (2^3)^n = 2^{3n}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Tabanı Asal Çarpanına Ayırma
8 sayısı asal olmadığı için 2 tabanında yazılır:
30! = (2^3)^n \cdot A \implies 30! = 2^{3n} \cdot A
n’nin en büyük doğal sayı değerini bulmak için 30! içindeki toplam 2 çarpanı sayısı bulunmalıdır.
Adım 2 — 30! İçindeki 2 Asal Çarpanlarının Sayısını Bulma
30 sayısı bölüm 2’den küçük olana kadar sürekli 2’ye bölünür ve bölümler toplanır:
- 30 \div 2 = 15
- 15 \div 2 = 7
- 7 \div 2 = 3
- 3 \div 2 = 1
Toplam 2 çarpanı sayısı:
15 + 7 + 3 + 1 = 26
Demek ki 30! sayısı 2^{26} çarpanını barındırır.
Adım 3 — n’nin En Büyük Değerini Hesaplama
Eşitlikte 2’nin üssü 3n olduğuna göre:
3n \le 26
n bir doğal sayı olduğu için 3’ün 26’ya eşit veya küçük en büyük katı seçilir:
3 \times 8 = 24 \le 26
3 \times 9 = 27 > 26
Buradan n’nin alabileceği en büyük değer 8 olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Faktöriyelde Asal Çarpan Bulma (Legendre Formülü)
- Tanım: x! içindeki p asal çarpanının kuvvetini bulmak için x, p’ye sürekli bölünür ve elde edilen tüm bölümler toplanır.
- Bu problemde: 30! içindeki 2 asal çarpanı sayısı 15 + 7 + 3 + 1 = 26 olarak hesaplanmıştır.
2. Bileşik Tabanlı Faktöriyel Soruları
- Tanım: Taban asal değilse (8, 9, 12 gibi), taban en küçük asal çarpanlarına ayrılır ve üsler buna göre düzenlenir.
- Bu problemde: 8^n = 2^{3n} dönüşümü yapılarak 3n \le 26 eşitsizliği kurulmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
30’u Doğrudan 8’e Bölmek
- Yanlış: 30 \div 8 = 3 diyerek cevabı 3 bulmak.
- Doğru: Legendre bölme kuralı yalnızca asal sayılar için geçerlidir; 8 asal olmadığından önce 2^3 şeklinde açılmalıdır.
- Neden yanlış: 8 asal olmadığı için faktöriyel içerisindeki 2 çarpanları birleşerek 8’i oluşturur.
Benzer tipte faktöriyel ve asal çarpan soruları çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?