Kökleri sayılarla işlem yapan Mert, \sqrt{15} + \sqrt{10} sayısını eşleniği olan \sqrt{15} - \sqrt{10} ile çarpmak yerine yanlışlıkla bölmüştür.
Buna göre, Mert’in bulduğu sayı bulması gereken sayıdan kaç fazladır?
A) \sqrt{12}
B) \sqrt{15}
C) \sqrt{18}
D) \sqrt{20}
E) \sqrt{24}
Köklü Sayılarda Eşlenik ile Çarpma ve Bölme İşlemi
KULLANILAN FORMÜLLER / KURALLAR:
- İki Kare Farkı Özdeşliği: (a - b)(a + b) = a^2 - b^2
- Kareköklü Sayıların Karesi: (\sqrt{a})^2 = a
- Tam Kare İfadelerin Açılımı: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
- Kök Dışındaki Katsayıyı Kök İçine Alma: a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bulunması Gereken Doğru Sayının Hesaplanması
Mert’in yapması gereken doğru işlem, \sqrt{15} + \sqrt{10} sayısını eşleniği olan \sqrt{15} - \sqrt{10} ile çarpmaktır.
\text{Bulması Gereken Sayı} = (\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot (\sqrt{15} - \sqrt{10})
İki kare farkı kuralı uygulandığında:
(\sqrt{15})^2 - (\sqrt{10})^2 = 15 - 10 = 5
Adım 2 — Mert’in Yanlışlıkla Bulduğu Sayının Hesaplanması
Mert çarpma işlemi yerine bölme işlemi yapmıştır:
\text{Bulduğu Sayı} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{10}}{\sqrt{15} - \sqrt{10}}
Paydayı kökten kurtarmak için kesrin payı ve paydası paydanın eşleniği olan (\sqrt{15} + \sqrt{10}) ile genişletilir:
\text{Bulduğu Sayı} = \frac{(\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot (\sqrt{15} + \sqrt{10})}{(\sqrt{15} - \sqrt{10}) \cdot (\sqrt{15} + \sqrt{10})} = \frac{(\sqrt{15} + \sqrt{10})^2}{(\sqrt{15})^2 - (\sqrt{10})^2}
Payın karesi açılıp payda düzenlenirse:
(\sqrt{15} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{15})^2 + 2 \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 15 + 2\sqrt{150} + 10 = 25 + 2\sqrt{25 \cdot 6} = 25 + 10\sqrt{6}
Payda ise:
15 - 10 = 5
İfadeyi sadeleştirelim:
\text{Bulduğu Sayı} = \frac{25 + 10\sqrt{6}}{5} = 5 + 2\sqrt{6}
Adım 3 — İki Değer Arasındaki Farkın Bulunması
Mert’in bulduğu sayının, bulması gereken sayıdan ne kadar fazla olduğunu bulmak için çıkarma işlemi yapılır:
\text{Fark} = \text{Bulduğu Sayı} - \text{Bulması Gereken Sayı}
\text{Fark} = (5 + 2\sqrt{6}) - 5 = 2\sqrt{6}
Adım 4 — Sonucun Seçeneklerdeki Kök Formatına Getirilmesi
Kökün dışındaki 2 katsayısı kök içine karesi alınarak aktarılır:
2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (\sqrt{24})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Köklü Sayılarda Eşlenik
- Tanım: (\sqrt{a} + \sqrt{b}) ifadesinin çarpıldığında kökten kurtulmasını sağlayan çarpanına (\sqrt{a} - \sqrt{b}) eşleniği denir.
- Bu problemde: Paydayı rasyonel sayı yapmak ve iki kare farkı kuralını oluşturmak için kullanılmıştır.
2. Paydayı Rasyonelleştirme
- Tanım: Paydada köklü ifade bulunan bir kesrin pay ve paydasını uygun bir eşlenikle genişleterek paydanın tam sayı yapılması işlemidir.
- Bu problemde: Kesirli bölme işlemini sade bir biçime getirmek için uygulanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tam Kare Açılımını Yanlış Yapmak
- Yanlış: (\sqrt{15} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{15})^2 + (\sqrt{10})^2 = 15 + 10 = 25
- Doğru: (\sqrt{15} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{15})^2 + 2\sqrt{150} + (\sqrt{10})^2 = 25 + 10\sqrt{6}
- Neden yanlış: (a+b)^2 açılımındaki çarpımların iki katı olan 2ab terimi unutulmamalıdır.
Katsayıyı Kök İçine Alırken Karesini Almamak
- Yanlış: 2\sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 6} = \sqrt{12}
- Doğru: 2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{24}
- Neden yanlış: Bir sayı kök içine girerken derecesi kadar kuvveti alınarak girer.
Köklü sayılarda eşlenik ve payda eşitleme ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Köklü Sayılarda İşlem ve Fark Hesabı
KULLANILAN FORMÜLLER:
- (a-b)(a+b) = a^2 - b^2
- (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
- a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bulması Gereken Sayı (Çarpma)
(\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot (\sqrt{15} - \sqrt{10}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{10})^2 = 15 - 10 = 5
Adım 2 — Bulduğu Sayı (Bölme ve Eşlenikle Genişletme)
\frac{\sqrt{15} + \sqrt{10}}{\sqrt{15} - \sqrt{10}} = \frac{(\sqrt{15} + \sqrt{10})^2}{15 - 10} = \frac{15 + 2\sqrt{150} + 10}{5} = \frac{25 + 10\sqrt{6}}{5} = 5 + 2\sqrt{6}
Adım 3 — Farkın Hesaplanması
\text{Fark} = (5 + 2\sqrt{6}) - 5 = 2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{24}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (\sqrt{24})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Eşlenik ile Çarpma
- Tanım: Köklü ifadelerde paydadaki kökü yok etmek için ifade zıt işaretlisiyle çarpılır.
- Bu problemde: Bölme işleminde payda rasyonelleştirilerek 5 + 2\sqrt{6} elde edildi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Katsayıyı Kök İçine Alırken Karesini Almamak
- Yanlış: 2\sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 6} = \sqrt{12}
- Doğru: 2\sqrt{6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}
- Neden yanlış: Kök dışındaki katsayı kök içine girerken karesi alınır.
Benzer tipte pratik bir soru daha çözerek bu kuralı pekiştirmek ister misin?